[論文レビュー] Generic Properties of Koopman Eigenfunctions for Stable Fixed Points and Periodic Orbits

Matthew D. Kvalheim, Hong, David+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2020

Model Reduction and Neural Networks参考文献 86被引用数 57

ひとこと要約

この論文は、吸引的双曲的固定点または周期軌道をもつ「典型的な」滑らか（C∞）ベクトル場に対して、C∞ Koopman固有関数が完全に分類可能であることを確立する。先行する固有関数の存在および一意性に関する結果を基盤とし、著者らは一般条件—特に線形化された力学系の∞-非共鳴—の下で、これらの固有関数が主固有関数とその複素共役の積の有限線形結合として表されることを証明する。これにより、非線形力学系およびモデル還元への応用において、適切に定義された全域的構造が保証される。

ABSTRACT

Our recent work established existence and uniqueness results for $\mathcal{C}^{k,\alpha}_{ ext{loc}}$ globally defined linearizing semiconjugacies for $\mathcal{C}^1$ flows having a globally attracting hyperbolic fixed point or periodic orbit (Kvalheim and Revzen, 2019). Applications include (i) improvements, such as uniqueness statements, for the Sternberg linearization and Floquet normal form theorems; (ii) results concerning the existence, uniqueness, classification, and convergence of various quantities appearing in the "applied Koopmanism" literature, such as principal eigenfunctions, isostables, and Laplace averages. In this work we give an exposition of some of these results, with an emphasis on the Koopmanism applications, and consider their broadness of applicability. In particular we show that, for "almost all" $\mathcal{C}^\infty$ flows having a globally attracting hyperbolic fixed point or periodic orbit, the $\mathcal{C}^\infty$ Koopman eigenfunctions can be completely classified, generalizing a result known for analytic systems. For such systems, every $\mathcal{C}^\infty$ eigenfunction is uniquely determined by its eigenvalue modulo scalar multiplication.

研究の動機と目的

• 安定な吸引子をもつ非線形力学系に対して、Koopman固有関数分類結果の広範な適用可能性を確立すること。
• 特に等安定面（isostables）およびラプラス平均（Laplace averages）の文脈において、長年の未解決問題であった固有関数の存在および一意性の問題を解決すること。
• KvalheimとRevzen（2019）の先行研究で得られたC∞ Koopman固有関数の強い分類結果が、特殊な場合に限らず、『典型的な』C∞ ベクトル場に対しても成り立つことを示すこと。
• 等安定面や等安定座標といった主要な量が一般条件下で適切に定義され、一意に定まることを証明することで、応用的Koopman理論の理論的基盤を提供すること。
• 無限次元関数空間における一般性の議論を用いて、解析的固有関数の既知の分類を滑らか（C∞）な設定へと拡張すること。

提案手法

• C∞ ベクトル場の空間における微分位相幾何学および一般性理論を用い、先行研究の主要仮定である非共鳴条件が、開かつ稠密な部分集合で成り立つことを示す。
• 固定点または周期軌道における線形化された流れとその随伴との間の∞-非共鳴という概念を適用し、スペクトルの分離を保証する。
• 時間平均観測量を用いた極限手続きにより、近似固有関数からKoopman固有関数を構成し、Ckコンact-open位相における収束を活用する。
• 線形化可能同相写像の理論を用いて、固有関数分類問題を線形化系のスペクトル性質に還元する。
• 対称多項式および固有値摂動論の結果を用い、一般条件下での固有関数の構造を分析する。
• ハートマン＝グロブマンの定理やシュテルンベルクの定理などの力学系の定理と関数解析的技法を組み合わせ、C∞正則性における固有関数の存在および一意性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 安定な固定点または周期軌道をもつC∞ Koopman固有関数が、どのような一般的条件下で存在し、完全に分類可能であるか。
• RQ2 C∞ Koopman固有関数の分類結果は、解析的系に限らず、どの程度広範に適用可能であるか。
• RQ3 主固有関数の一意性は、ベクトル場の微小摂動に対して安定か。
• RQ4 C∞設定において、等安定面および等安定座標の存在および一意性は一般に保証されるか。
• RQ5 ∞-非共鳴が、固有関数分類の完全性および一意性を保証するために果たす正確な役割は何か。

主な発見

• 吸引的双曲的固定点をもつ一般のC∞ ベクトル場に対して、C∞ Koopman固有関数は、主固有関数とその複素共役の積の有限線形結合として完全に分類可能である。
• この分類は一般に成り立つ—すなわち、C∞ ベクトル場の開かつ稠密な集合に対して、線形化系とその随伴との間の∞-非共鳴の条件下で成り立つ。
• 主固有関数は、固定点における初期微分係数によって一意に定まり、時間平均観測量を用いた極限手続きにより構成可能である。
• 周期軌道の場合は、固有値i2π/τをもつ位相固有関数ψθが含まれており、他のすべての固有関数は、ψθと安定部分空間の固有関数の積の有限結合で表される。
• この結果により、解析的系に対する既知の分類が滑らか（C∞）な場合へと一般化され、Koopman固有関数の構造的性質が一般摂動に対して安定であることが示された。
• 先行の存在定理におけるスペクトル分散条件は、C∞の場合には自動的に満たされるため、∞-非共鳴の他に追加の仮定は不要である。