[論文レビュー] Generic properties of module maps and characterizing inverse limits of C*-algebras of compact operators

Kamran Sharifi|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2011

Advanced Operator Algebra Research参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、局所C*-代数がコンパクト作用素のC*-代数の逆極限であるための必要十分条件を、そのヒルベルトモジュール間の有界モジュール写像の性質に基づいて特定する。具体的には、すべての有界モジュール写像が随伴可能であり、閉じた像を持ち、一般化逆元をもち、または極分解を持つことと同値である。この同値性は、局所C*-代数上のヒルベルトモジュールにおけるモジュール写像の構造的解析を通じて証明される。

ABSTRACT

We study closedness of the range, adjointability and generalized invertibility of modular operators between Hilbert modules over locally C*-algebras of coefficients. Our investigations and the recent results of M. Frank [Characterizing C*-algebras of compact operators by generic categorical properties of Hilbert C*-modules, {\it J. K-Theory} {\bf 2} (2008), 453-462] reveal a number of equivalence properties of the category of Hilbert modules over locally C*-algebras which characterize precisely the inverse limit of C*-algebras of the C*-algebra of compact operators.

研究の動機と目的

• 局所C*-代数上のヒルベルトC*-モジュールの一般的な圏的性質を用いて、コンパクト作用素のC*-代数の逆極限を特徴づけること。
• 局所C*-代数上のヒルベルトモジュール間のモジュール写像の像の閉性、随伴可能性、一般化逆元の存在を調査すること。
• モジュール写像の構造的性質と係数代数の逆極限構造との間の同値性を確立すること。
• モジュール論的不変量を用いて、既知のコンパクト作用素のC*-代数の特徴づけを局所C*-代数の設定に拡張すること。

提案手法

• 連続なC*-セミノルムと商C*-代数を用いて、局所C*-代数上のヒルベルトモジュール間の有界モジュール写像を分析する。
• 商 $\mathcal{A}_p = \mathcal{A}/N_p^\mathcal{A}$ の逆系構造を用いて、局所C*-代数の性質とモジュールの全体的挙動を関連付ける。
• フランクらのヒルベルトC*-モジュールにおける直交補空間および双直交補空間に関する結果を応用する。
• モジュール写像が随伴可能であることと、そのグラフが直交和成分であることは同値であることを示し、C*-代数における既知の結果を一般化する。
• 直交直和分解を用いて、モジュール写像の一般化逆元の存在が、その像が閉じていることと同値であることを証明する。
• 商写像 $\pi_p^\mathcal{A}$ におけるモジュール写像の函子的性質を応用し、$\mathcal{A}_p$ における性質を $\mathcal{A}$ に持ち上げる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所C*-代数がコンパクト作用素のC*-代数の逆極限であるためのモジュール写像の性質は何か？
• RQ2 局所C*-代数上のヒルベルトモジュール間の有界モジュール写像が随伴可能であるための条件は何か？
• RQ3 局所C*-代数上のヒルベルトモジュール間の有界モジュール写像が一般化逆元を持つための条件は何か？
• RQ4 モジュール写像の極分解と閉じた像の性質は、係数代数の代数的構造とどのように関係するか？
• RQ5 部分モジュールの直交補空間が、コンパクト作用素のC*-代数の逆極限を特徴付ける上で果たす役割は何か？

主な発見

• 局所C*-代数上のヒルベルトモジュール間の有界モジュール写像が随伴可能であることと、そのグラフが直交和成分であることは同値である。
• 有界モジュール写像が一般化逆元を持つことと、その像が閉じていることは同値である。
• 局所C*-代数 $\mathcal{A}$ がコンパクト作用素のC*-代数の逆極限であることと、$\mathcal{A}$-モジュール写像がすべてのヒルベルト $\mathcal{A}$-モジュール間で一般化逆元を持つことは同値である。
• 同じ条件は、すべての写像が極分解を持つことと同値であり、また、像が閉じた写像の像が直交和成分であることも同値である。
• すべての核が直交和成分であるか、すべてのヒルベルト部分モジュールが位相的に補完可能である場合にも同値性が成り立つ。
• モジュール写像 $T$ の一般化逆元は、すべての $p \in S(\mathcal{A})$ に対して $(\pi_p^\mathcal{A})_*(T^\dagger) = (\pi_p^\mathcal{A}(T))^\dagger$ を満たし、商の下でも構造が保存される。