[論文レビュー] Geometric Analysis on the Diederich-Forn\ae ss Index

Steven G. Krantz, Bingyuan Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2016

Holomorphic and Operator Theory参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ℂ²における有界擬凸領域に対して、Diederich-Fornæss指数が1に等しいことを保証する、新しい解析的および幾何的条件を確立する。微分幾何学的手法と最適定義関数の構成を用いて、Levi平坦集合上での定義関数のヘッセ行列の解析により、Hessₚ(L,N) = 0 が成り立つならば、指数は1に等しいことを証明する。これはFornæss–Herbigの定理を拡張し、従来の定理では検出できない新たな領域に対しても指数が1に等しいことを示している。

ABSTRACT

We derive a sufficient condition on a bounded pseudoconvex domain $\\Omega\\subset\\mathbb{C}^2$ with smooth boundary such that $-(-\ ho)^\\eta$ is plurisubharmonic on $\\Omega$ for $\\eta>0$ arbitrarily close to $1$ (the supremum of $\\eta$ is called Diederich-Forn{\\ae}ss index, see Definition (df)). This condition (see Theorem prop) extends a theorem of Forn{\\ae}ss and Herbig in 2007 and only requires restriction on Levi-flat sets of the boundary $\\partial\\Omega$. Since the condition is on Levi-flat sets, it contains more geometric information. As an application of this new condition, we discuss how the geometry of the Levi-flat sets affects the Diederich-Forn{\\ae}ss index. Among other results, we show that the Diederich-Forn{\\ae}ss index is $1$ if only the Levi-flat sets form a real curve transversal to the holomorphic tangent vector fields on $\\partial\\Omega$ (see Theorem [main]). We also give a specific example (see Theorem [example]) on the bounded pseudoconvex domains which verify the application but are neither of finite type nor admit a plurisubharmonic defining function on the boundary.

研究の動機と目的

• 境界における擬スハーモニック性よりも広い条件を同定することで、Fornæss–Herbigの定理を拡張し、Diederich-Fornæss指数が1に等しいことを保証すること。
• 解析的条件を幾何学的観点から解釈し、境界の位相的および幾何的性質が指数にどのように反映されるかを明らかにすること。
• 従来の知られていた定理では検証できない、Diederich-Fornæss指数が1に等しい有界擬凸領域をℂ²に構成すること。
• 微分方程式と幾何的解析を用いて、指数計算に適した最適定義関数を構成する方法を開発すること。

提案手法

• Levi平坦集合Σ上における正規化された全純接ベクトル場Lと複素法ベクトル場Nに沿った定義関数ρのヘッセ行列の使用。
• 接続微分作用素と曲率恒等式を含む微分幾何学的技法を用いて、Σ上におけるHessₚ(L,N)の挙動を分析すること。
• 境界付近での漸近的解析を可能にするために、修正された定義関数ρ = -r e^ψ（r = -δ、ψは滑らか）の構成。
• Levi形式の展開と2次項の制御により、-(-ρ)^ηの擬スハーモニック性条件を推定すること。
• Σ上でのHessₚ(L,N)の消滅を活用し、-(-ρ)^ηのLevi形式に一様な下界を導出すること。
• ℂ²における曲率および交換子恒等式から導かれる恒等式 L_r Hess_r(N_r, L_r) = N_r Hess_r(L_r, L_r) をΣ上で用いること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定義関数の境界における擬スハーモニック性よりも一般な条件が、Diederich-Fornæss指数が1に等しいことを保証できるか？
• RQ2 Levi平坦集合上での解析的条件Hessₚ(L,N) = 0は、境界構造の観点からどのように幾何学的に解釈できるか？
• RQ3 Fornæss–Herbig や Diederich–Fornæss の定理など、従来の定理では検出できない、ℂ²における有界擬凸領域でDiederich-Fornæss指数が1に等しいものがあるか？
• RQ4 幾何的解析と微分方程式を用いて、Diederich-Fornæss指数の最適定義関数を構成できるか？

主な発見

• 有界擬凸領域がℂ²に属するとき、定義関数のヘッセ行列がLevi平坦集合Σ上にてHessₚ(L,N) = 0 を満たすならば、Diederich-Fornæss指数は1に等しい。
• この条件は、Fornæss–Herbigの結果を一般化しており、境界上で定義関数が擬スハーモニックである必要がない領域にも適用可能である。
• Hessₚ(L,N) = 0 という条件は、特にLevi平坦集合の構造に特徴的な、境界の内因的幾何的および位相的性質を反映している。
• Diederich-Fornæss指数が1に等しいが、Fornæss–Herbig や Diederich–Fornæss の定理では検証できない特定の領域が構成された。
• 証明により、Hessₚ(L,N) = 0 の条件下で、関数 -(-ρ)^η がη = 1のとき厳密に擬スハーモニックであることが示され、指数が正確に1に等しいことが導かれる。
• 解析により、指数が境界の複素接方向に沿った定義関数の2次挙動に敏感であることが明らかになった。