[論文レビュー] Geometric and monotonic properties of hyper-Bessel functions

İbrahim Aktaş, Árpád Baricz+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2018

Analytic and geometric function theory参考文献 31被引用数 23

ひとこと要約

本稿は、正規化された超ベッセル関数の幾何的および単調的性質を調査し、星型的、凸的、一様凸的な性質の半径に焦点を当てる。Euler-Rayleighの不等式と整関数のLaguerre-Pólyaクラスを用いて、これらの半径について明示的な超越方程式と鋭い境界を導出し、古典的ベッセル関数から超ベッセル関数への拡張において、第一の正の零点および関連関数に対する正確な不等式を提示する。

ABSTRACT

Some geometric properties of a normalized hyper-Bessel functions are investigated. Especially we focus on the radii of starlikeness, convexity, and uniform convexity of hyper-Bessel functions and we show that the obtained radii satisfy some transcendental equations. In addition, we give some bounds for the first positive zero of normalized hyper-Bessel functions, Redheffer-type inequalities, and bounds for this function. In this study we take advantage of Euler-Rayleigh inequalities and Laguerre-P\'{o}lya class of real entire functions, intensively.

研究の動機と目的

• 古典的ベッセル関数に対して既知であった幾何的関数論の結果を、より広い超ベッセル関数のクラスへと拡張すること。
• 正規化された超ベッセル関数の星型的、凸的、一様凸的な性質の半径を特定すること。
• 正規化された超ベッセル関数の第一の正の零点および関連量に対する鋭い境界を確立すること。
• 無限積および和の表現を用いて、零点の単調性および入れ違いの性質を分析すること。
• Laguerre-PólyaクラスおよびEuler-Rayleighの和を用いて、超ベッセル関数のRedheffer型不等式および境界を導出すること。

提案手法

• 一般化超幾何関数から導かれる、正規化された超ベッセル関数 $ f_{\alpha_d}(z) = z J_{\alpha_d}(z) $ の無限和および無限積表現を用いる。
• Euler-Rayleighの不等式を $ f_{\alpha_d}(z) $ の零点に適用し、零点の $ (d+1) $ 乗の逆数の第一および第二の初等対称和を用いる。
• Laguerre-Pólyaクラスを用いて、実整関数の構造を分析し、零点の入れ違いおよび単調性の性質を証明する。
• 対数微分の微分不等式を導出し、星型的、凸的、一様凸的な性質の半径を特徴付ける。
• 累乗級数の比の単調性およびl’Hospitalの定理の単調形を用いて、比 $ \Sigma_{\alpha_d}(x) = \frac{\log J_{\alpha_d}(x)}{\log \left(1 - \frac{x^{d+1}}{j_{\alpha_d,1}^{d+1}} \right)} $ が単調に減少することを証明する。
• 正規化された超ベッセル関数の対数微分の絶対単調性を分析することで、$ J_{\alpha_d}(x) $ に対するRedheffer型不等式および境界を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正規化された超ベッセル関数の星型的、凸的、一様凸的な性質の半径が満たす正確な超越方程式は何か？
• RQ2 正規化された超ベッセル関数の第一の正の零点に対する境界は、古典的ベッセル関数の既知の境界と比べてどう異なるか？
• RQ3 正規化された超ベッセル関数の零点とその導関数の零点の関係は何か？ そして、これにより入れ違いの性質がどのように関連するか？
• RQ4 Laguerre-PólyaクラスおよびEuler-Rayleighの和を用いて、超ベッセル関数のRedheffer型不等式および境界を導出できるか？
• RQ5 古典的ベッセル関数の幾何的および単調的性質が、超ベッセル関数へと自然に拡張できる範囲はどの程度か？

主な発見

• 星型的性質の半径 $ r^\star(f_{\alpha_d}) $ は、方程式 $ z J'_{\alpha_d}(z) + J_{\alpha_d}(z) = 0 $ の最小の正の解であり、$ \sqrt[d+1]{\frac{(d+1)^d A(\alpha_d)}{d+1}} < r^\star(f_{\alpha_d}) < \sqrt[d+1]{\frac{(d+1)^d A(\alpha_d)}{d+1}} $ という境界を満たす。ここで $ A(\alpha_d) = \prod_{i=1}^d (\alpha_i + 1) $ である。
• 凸的性質の半径 $ r_c(f_{\alpha_d}) $ は、方程式 $ (d+1) z J'_{\alpha_d}(z) + z^2 J''_{\alpha_d}(z) + J_{\alpha_d}(z) = 0 $ の最小の正の解であり、$ \sqrt[d+1]{\frac{(d+1)^{d+1} A(\alpha_d)}{d+2}} < (r_c(f_{\alpha_d}))^{d+1} < \frac{(d+2)(d+1)^{d+1} A(\alpha_d) B(\alpha_d)}{(d+2)^2 B(\alpha_d) - (2d+3) A(\alpha_d)} $ を満たす。ここで $ B(\alpha_d) = \prod_{i=1}^d (\alpha_i + 2) $ である。
• 一様凸的性質の半径 $ r_{uc}(f_{\alpha_d}) $ は、方程式 $ 2z^2 J''_{\alpha_d}(z) + 5z J'_{\alpha_d}(z) + J_{\alpha_d}(z) = 0 $ の最小の正の解であり、$ (0, \psi_{\alpha_d,1}) $ 内の唯一の解 $ 1 + 2z \frac{f''_{\alpha_d}(z)}{f'_{\alpha_d}(z)} = 0 $ によって特徴付けられる。
• 関数 $ J_{\alpha_d}(z) $ の第一の正の零点 $ j_{\alpha_d,1} $ は、Euler-Rayleighの境界 $ \frac{1}{(d+1)^{d+1} A(\alpha_d)} < \Delta_1 < \frac{1}{(d+1)^{d+1} A(\alpha_d)} $ を満たす。ここで $ \Delta_1 = \sum_{n \geq 1} j^{- (d+1)}_{\alpha_d,n} $ であり、$ \Delta_2 $ および $ \Delta_3 $ についても高階の境界が導出される。
• 関数 $ x \mapsto \log J_{\alpha_d}(x) / \log \left(1 - x^{d+1}/j_{\alpha_d,1}^{d+1} \right) $ は $ (0, j_{\alpha_d,1}) $ 上で厳密に単調に減少し、不等式 $ 1 < \Sigma_{\alpha_d}(x) < \frac{j_{\alpha_d,1}^{d+1}}{(d+1)^{d+1} A(\alpha_d)} $ が得られる。
• 関数 $ q_{\alpha_d}(x) = \exp\left( \log \left( \frac{x^{S(\alpha_d)}}{(d+1)^{S(\alpha_d)} A(\alpha_d)} \right) - \frac{x}{(d+1)^{d+1} A(\alpha_d)} \right) $ は $ [0, j_{\alpha_d,1}^{d+1}) $ 上で絶対単調である。これにより、Redheffer型不等式 $ J_{\alpha_d}(x^{1/(d+1)}) \leq \frac{x^{S(\alpha_d)/(d+1)}}{(d+1)^{S(\alpha_d)} A(\alpha_d)} \exp\left( - \frac{x}{(d+1)^{d+1} A(\alpha_d)} \right) $ が導かれる。