[論文レビュー] Geometric constant term functor(s)

Vladimir Drinfeld, Dennis Gaitsgory|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、曲線上のG-バンドルのモジュライスタック上の幾何的自己形式に対して、反対パラボリック部分群を用いて、!-定数項関手と*-定数項関手の正規同型を確立する。これは、D-加群の導来圏における左随伴関手を定義する際の基礎的問題を解決し、!-関手が適切に定義されること、および反対パラボリック部分群に対する定数項関手が自然に同型であることを証明することで、幾何的ラングランズ理論におけるアイゼンスタイン関手と定数項関手の統合を達成する。

ABSTRACT

We study the Eisenstein series and constant term functors in the framework of geometric theory of automorphic functions. Our main result says that for a parabolic P in G with Levi quotient M, the !-constant term functor CT_!:D-mod(Bun_G)-> D-mod(Bun_M) is canonically isomorphic to the *-constant term functor CT^-_*:D-mod(Bun_G) o D-mod(Bun_M), taken with respect to the opposite parabolic P^-.

研究の動機と目的

• 幾何的ラングランズプログラムにおける左随伴関手（例：Eis_! および CT_!）を定義する際の基礎的問題を解決すること。
• パラボリック部分群に対して、D-mod(Bun_G) 上での !-定数項関手 CT_! が適切に定義されることを確立すること。
• パラボリック部分群 P に対する !-定数項関手とその反対パラボリック部分群 P⁻ に対する *-定数項関手の間の自然同型を証明すること。
• 双対性およびパラボリック部分群の双対性を用いて、幾何的設定におけるアイゼンスタイン関手と定数項関手を統合すること。
• バンドルのモジュライスタック上の D-加群を用いた、定数項関手とアイゼンスタイン級数関手の幾何的枠組みを提供すること。

提案手法

• Bun_P^μ → Bun_M^μ ← Bun_G の基本的図式を用いて、引き戻し・押し出し操作により関手を定義する。
• 滑らかでかつ準コンパactな準同型に沿った !-引き戻しと !-押し出しを用いて、Eis_! および CT_! 関手を定義する。
• q: Bun_P^μ → Bun_M^μ が滑らかで安全であるという事実を活用し、q_! および q^* が適切に振る舞うことを保証する。
• 基底変換およびコンパクト性の議論を用いて、反対パラボリック部分群を介して、P 上の !-関手と P⁻ 上の *-関手を関連付ける。
• コアキラのコアキラの安定化子を含む拡張半群に沿った構成を通じて、A¹ 上の群スキーム G~ を構成し、幾何的定数項関手を実現する。
• 商 (A¹ × G × G)/G~ が有限型の準アフィンスキームであることを証明し、定数項関手の存在を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラボリック部分群に対して、!-定数項関手 CT_! : D-mod(Bun_G) → D-mod(Bun_M^μ) は幾何的設定において適切に定義可能か？
• RQ2 パラボリック部分群 P に対する !-定数項関手とその反対パラボリック部分群 P⁻ に対する *-定数項関手の間に自然な同型が存在するか？
• RQ3 CT_* の左随伴関手 Eis_! は存在するか？また、p_! ∘ q^* を用いて定義される標準的アイゼンスタイン関手と同型か？
• RQ4 D-加群のBun_G上の導来圏において、定数項関手とアイゼンスタイン関手をどのように統合できるか？
• RQ5 D-加群のモジュライスタックの文脈において、定数項関手の背後にある幾何的構造は何か？

主な発見

• !-定数項関手 CT_! = q_! ∘ p^* は、q^* の本質的像上で適切に定義されており、非特徴的 D-加群における基礎的問題を解決する。
• 関手 Eis_! = p_! ∘ q^* は、q が滑らかで、p が準コンパクトかつ代表可能であるため、適切に定義される。
• P に対する !-定数項関手は、反対パラボリック部分群 P⁻ に対する *-定数項関手と自然に同型であり、両者の間に双対性が存在することが示される。
• 商 (A¹ × G × G)/G~ は存在し、有限型の準アフィンスキームである。これにより、定数項構成の幾何的モデルが得られる。
• 群スキーム G~ ⊂ A¹ × G × G は、基底変換 A¹ → G_enh 沿いに、拡張半群 G_enh 内のコアキラの安定化子と同型である。
• CT_! と CT_*^opposite の同型は、ヴィンバーグの半群および拡張群スキーム G_enh を用いた幾何的構成により確立される。