[論文レビュー] Geometric flow, Multiplier ideal sheaves and Optimal destabilizer for a Fano manifold

Tomoyuki Hisamoto|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2019

Geometry and complex manifolds参考文献 59被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、Fano多様体に対するモーメント・ウェイト不等式を、リッチ＝カラビ汎関数の下界を、テスト配置上の非アーチメデス的Dエネルギーの上限と結びつけることで確立する。逆モンジュ＝アンペール流れと弱測地線を用いて、最適な不安定化因子を実現する乗数イデアル層を構成し、一般のFano多様体において安定性不等式の等号を証明する。

ABSTRACT

S. K. Donaldson asked whether the lower bound of the Calabi functional is achieved by a sequence the normalized Donaldson-Futaki invariants. We answer the question for the Ricci curvature formalism, in place of the scalar curvature. The principle is that the stability indicator is optimized by the multiplier ideal sheaves of certain weak geodesic ray asymptotic to the geometric flow. We actually prove it in the two case: the inverse Monge-Ampere flow and the Kahler-Ricci flow.

研究の動機と目的

• スカラー曲率の代わりにリッチ曲率の形式で、[D05]で提起された、カルビ汎関数の下界が正規化されたドナルドソン＝フタカインヴァリアントによって達成されるかという問いに答えること。
• 幾何的不変理論におけるものと類似したモーメント・ウェイト不等式を確立し、リッチ＝カラビ汎関数と非アーチメデス的Dエネルギーを関連付けること。
• 幾何的流れに関連する弱測地線から得られる乗数イデアル層を用いて、Fano多様体の最適な不安定化因子を構成すること。
• 一般のFano多様体において、リッチ＝カラビ汎関数の下界が、テスト配置上の正規化された非アーチメデス的Dエネルギーの上限に等しいことを証明すること。
• [CW14] や [CSW15] の深い結果に依存せずに、[DS17] におけるH汎関数の等式を新たな変分的証明で再構築すること。

提案手法

• 逆モンジュ＝アンペール流れ $\frac{\partial}{\partial t}\varphi = 1 - e^{\rho}$ を用いて、幾何的流れに漸近する弱測地線 $\Phi$ を定義する。
• dd^c-補題を適用して基準計量 $\omega_0$ を固定し、すべてのケーラー計量を $\omega = \omega_0 + dd^c\varphi$ として表現する。
• 弱測地線 $\Phi$ から乗数イデアル層 $\mathcal{J}(m\hat{\Phi})$ を構成し、これによりテスト配置 $\mathcal{X}_m$ の系列を定義する。
• ケーラー計量空間のマブーチ幾何と [DH17] の技術を用いて、弱測地線が存在し、流れに漸近することを保証する。
• デメールリ近似法を用いて、関連する確率測度 $\mathrm{DH}(\varphi_t)$ と $\mathrm{DH}(\varphi_m^t)$ の $p$-モーメントを比較する。
• 恒等式 $\int_{\mathbb{R}} e^{-\lambda} \mathrm{DH}(\varphi^t) = 1$ と $m \to \infty$ における $\mathrm{DH}(\varphi_m^t) \to \mathrm{DH}(\varphi^t)$ の収束を用いて、不変量を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のFano多様体において、リッチ＝カラビ汎関数の下界は、テスト配置上の正規化された非アーチメデス的Dエネルギーの上限に等しいか？
• RQ2 弱測地線の乗数イデアル層から得られるテスト配置の系列によって、Fano多様体の最適な不安定化因子が実現可能か？
• RQ3 スカラー曲率設定におけるものと同等のリッチ曲率設定におけるモーメント・ウェイト不等式は等号を満たすか、かつ同値か？
• RQ4 [DS17] におけるH汎関数の等式は、[CW14] や [CSW15] の深い結果に依存せずに再証明可能か？
• RQ5 $L^2$-正規化された非アーチメデス的DエネルギーとH不変量は、ケーラー＝リッチ流れのような幾何的流れとどのように関係するか？

主な発見

• リッチ＝カラビ汎関数 $\left[\frac{1}{V}\int_X (e^\rho - 1)^2 \omega^n\right]^{1/2}$ の下界は、逆モンジュ＝アンペール流れによって達成される。
• 正規化された非アーチメデス的Dエネルギーの上限 $\frac{-D^{\mathrm{NA}}(\mathcal{X},\mathcal{L})}{\|\mathcal{X},\mathcal{L}\|_2}$ は、乗数イデアル層 $\mathcal{J}(m\Phi)$ のブローモーによって得られるテスト配置 $\mathcal{X}_m$ の系列によって達成される。
• すべてのFano多様体において、等式 $\inf_{\omega}\left[\frac{1}{V}\int_X (e^\rho - 1)^2 \omega^n\right]^{1/2} = \sup_{(\mathcal{X},\mathcal{L})}\frac{-D^{\mathrm{NA}}(\mathcal{X},\mathcal{L})}{\|\mathcal{X},\mathcal{L}\|_2}$ が成り立つ。
• 逆モンジュ＝アンペール流れに漸近する弱測地線 $\Phi$ は、$\mathrm{DH}(\varphi_m^t)$ の $p$-モーメントが $\mathrm{DH}(\varphi^t)$ に収束することによって、極限的意味で最適な不安定化因子を実現する。
• H汎関数は $\inf_{\omega} H(\omega) = \sup_{(\mathcal{X},\mathcal{L})} H(\mathcal{X},\mathcal{L})$ を満たし、[CW14] や [CSW15] を用いない新たな変分的手法によって証明される。
• 正規化されたケーラー＝リッチ流れに対して、恒等式 $F(\dot{\varphi}^t) = F(\dot{\varphi}_t) = 0$ が成り立ち、関連する測度の $p$-モーメントが適切に収束することで等号が裏付けられる。