[論文レビュー] Geometric Invariants of Recursive Group Orbit Stratification

Xiping Zhang|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特性 0 の代数閉体上の再帰的群軌道分割に対して $c_{sm}$ 不変量を導入し、軌道層の局所オイラー除去および断面オイラー特性について明示的な代数的公式を提供する。この手法は、射影化された軌道のチャーン類に基づいて幾何的不変量を体系的に計算するもので、通常、対称的、反対称的ランク局所化に応用可能である。

ABSTRACT

The local Euler obstructions and the Euler characteristics of linear sections with all hyperplanes on a stratified projective variety are key geometric invariants in the study of singularity theory. Despite their importance, in general it is very hard to compute them. In this paper we consider a special type of singularity: the recursive group orbits. They are the group orbits of a sequence of $G_n$ representations $V_n$ satisfying certain assumptions. We introduce a new intrinsic invariant called the $c_{sm}$ invariant, and use it to give explicit formulas to the local Euler obstructions and the sectional Euler characteristics of such orbits. In particular, the matrix rank loci are examples of recursive group orbits. Thus as applications, we explicitly compute these geometry invariants for ordinary, skew-symmetric and symmetric rank loci. Our method is systematic and algebraic, thus works for algebraically closed field of characteristic $0$. Moreover, in the complex setting we also compute the stalk Euler characteristics of the Intersection Cohomology Sheaf complexes for all three types of rank loci.

研究の動機と目的

• 特異な射影的代数多様体上の局所オイラー除去および断面オイラー特性を計算する体系的な代数的手法の開発を目的とする。
• 特異空間における幾何的不変量、たとえば局所オイラー除去や断面オイラー特性を計算するという長年の困難を解決することを目的とする。
• 既存の公式を、行列ランク局所化を含む再帰的群軌道分割にまで拡張し、内在的不変量を用いる。
• 複素数的設定におけるランク局所化の交差特異ホモロジー層複体の茎オイラー特性を計算することを目的とする。
• 任意の特性 0 の体上で成り立つ、シューベルト計算から得られる二項恒等式を、数え上げ的意味づけとともに確立することを目的とする。

提案手法

• 再帰的群軌道分割における群の射影化された軌道のチャーン類から導かれる内在的不変量として $c_{sm}$ 不変量を導入する。
• 公式 $\mathrm{Eu}_{\bar{\mathcal{O}}_{n,k}}(\mathcal{O}_{n,r}) = \sum_{(\mu_1 > \cdots > \mu_l \geq k)} \mathrm{Sm}_{n\mu_1} \cdots \mathrm{Sm}_{\mu_l k}$ を用いて、フラッグ分解を介して局所オイラー除去を計算する。
• シューベルト計算を用いて、一般の超曲面内の線形部分空間をパラメトライズするグラスマン多様体のスキームのオイラー特性を計算する。
• トポロジカル不変量を用いて、ファイバー空間のオイラー特性を射影空間内での2次超曲面の差分と関連付ける。
• チャーン類の公式 $c_{\mathrm{sm}}^{Z^{X}_{d,n}} = \frac{c(S^\vee \otimes Q) \cdot c_{\binom{d+2}{2}}(\mathrm{Sym}^2(S^\vee))}{c(\mathrm{Sym}^2(S^\vee))}$ を用いて、切断の零点集合上の不変量を計算する。
• シューベルト計算における消失定理を活用し、バンドルのランク条件に基づいて $2d \geq n$ のとき、ある積分が消失することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 再帰的群軌道分割に対して、局所オイラー除去を計算する体系的な代数的手法を開発することは可能か？
• RQ2 $c_{sm}$ 不変量は、局所オイラー除去や断面オイラー特性といった幾何的不変量の計算を簡略化する役割を果たすか？
• RQ3 複素数的設定におけるランク局所化の交差特異ホモロジー層の茎オイラー特性は、どのように振る舞うか？
• RQ4 対称的および反対称的ケースにおけるシューベルト統合から導かれる二項恒等式の背後にある数え上げ的不変量は何か？
• RQ5 特定のシューベルト積分の消失は、幾何的または表現論的対称性によって説明可能か？

主な発見

• 再帰的群軌道層の局所オイラー除去は、$c_{sm}$ 不変量のフラッグに関する和で与えられる：$\mathrm{Eu}_{\bar{\mathcal{O}}_{n,k}}(\mathcal{O}_{n,r}) = \sum_{\mu_1 > \cdots > \mu_l \geq k} \mathrm{Sm}_{n\mu_1} \cdots \mathrm{Sm}_{\mu_l k}$。
• 一般の2次超曲面 $\mathbb{P}^{3r+1}$ に含まれる $2r$-次元部分空間の個数は、$A = 2\lfloor (n+1)/2 \rfloor$ とおくと、ちょうど $2^{d+1} \binom{A}{A-d-1}$ 個である。
• ランク局所化の一般の線形断面の断面オイラー特性は、$\mathbb{P}^{n-2d}$ と $\mathbb{P}^{n-2d-1}$ 内の一般の2次超曲面のオイラー特性の差分によって計算される。
• 公式 $\int_{G(d+1,n+1)} \frac{c(S^\vee \otimes Q) \cdot c_{\binom{d+2}{2}}(\mathrm{Sym}^2(S^\vee))}{c(\mathrm{Sym}^2(S^\vee))} = 2^{d+1} \binom{m}{m-d-1}$ は、$n = 2m$ または $n = 2m+1$ のとき成り立ち、任意の特性 0 の体上で有効である。
• $2d \geq n$ のとき、シューベルト計算における $\Delta_{[d+1]}(c(S^\vee))$ の消失により、チャーン類の式の積分が消失する。これは $\mathrm{rk} Q < d+1$ であるためである。
• 導出された二項恒等式は純代数的であり、特異的数え上げ的外見にもかかわらず、任意の代数閉体（特性 0）上で普遍に成り立つ。