[論文レビュー] Geometric Microstates for the Three Dimensional Black Hole?

Alexander Maloney|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 68被引用数 25

ひとこと要約

本稿は、 chirality gravity におけるホライズン背後におけるトポロジカルに非自明な幾何の量子化を通じて、3次元 BTZ 黒点の幾何的微状態を調査する。境界付きリーマン面のモジュライ空間における交差理論を用い、固定された genus における微状態数を計算し、エントロピーが Bekenstein-Hawking エントロピーを説明するには成長が遅すぎることが判明する。しかし、非摂動的効果を伴う漸近的級数として扱った genus に関する発散級数は、ホライズン面積に比例するエントロピーをもたらし、エントロピーの不一致の解決を示唆する。

ABSTRACT

We study microstates of the three dimensional black hole obtained by quantizing topologically non-trivial geometries behind the event horizon. In chiral gravity these states are found by quantizing the moduli space of bordered Riemann surfaces. In the semi-classical limit these microstates can be counted using intersection theory on the moduli space of punctured Riemann surfaces. We make a conjecture (supported by numerics) for the asymptotic behaviour of the relevant intersection numbers. The result is that the geometric microstates with fixed topology have an entropy which grows too slowly to account for the semiclassical Bekenstein-Hawking entropy. The sum over topologies, however, leads to a divergence. We conclude with some speculations about how this might be resolved to give an entropy proportional to horizon area.

研究の動機と目的

• ホライズン背後の純粋に幾何的・位相的自由度を用いて、3次元重力における黒点微状態を特徴づけること。
• chiral gravity における境界付きリーマン面のモジュライ空間を量子化することで、BTZ 黒点の量子微状態数を数えること。
• 幾何的微状態の総数が、半古典的 Bekenstein-Hawking エントロピーを説明できるかどうかを特定すること。
• 固定 genus におけるエントロピーが不足しているのに対し、大規模な genus 質量の寄与が発散することの間にある矛盾を解消すること。
• 非摂動的効果が発散する genus 和を有限にし、面積則に従うエントロピーをもたらすかどうかを検討すること。

提案手法

• BTZ ホライズン背後のトポロジカルに非自明な幾何の位相空間を量子化し、穴あきリーマン面のモジュライ空間に写像する。
• 1つの穴あきを持つ genus-g 表面のモジュライ空間における交差理論を用い、固定 genus における量子状態数を計算する。
• 交差数の推定された漸近公式を適用し、genus と conformal 次元に伴う微状態の成長を推定する。
• genus と conformal 次元に関する和を再順序付け、大規模な genus における主要寄与を分離する。
• 発散する genus 和を漸近的級数として扱い、非摂動的効果（e^{k^{-3/2}} のオーダー）がそれを有限にするものと仮定する。
• ホライズン面積（AdS 単位）に線形に比例する平方根の conformal 次元に比例するエントロピー式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元 BTZ 黒点の幾何的微状態は、ホライズン背後の位相的データのみを用いて構成され、数えられるか？
• RQ2 固定 genus における微状態数は、Bekenstein-Hawking エントロピーを再現するほど十分に速く成長するか？
• RQ3 すべての genus について和をとった場合、微状態総数の挙動はどのようになるか？この和を有限にできるか？
• RQ4 非摂動的効果が genus 和の発散を解消し、ホライズン面積に比例するエントロピーをもたらすか？
• RQ5 モジュライ空間における交差数の漸近的性質が、幾何的微状態のエントロピースケーリングにどのように影響するか？

主な発見

• 固定 genus における微状態は、大規模な genus において (2g)! のオーダーで成長し、Bekenstein-Hawking エントロピーを説明するにはエントロピーの成長が遅すぎる。
• 状態数の階乗的成長のため、微小な conformal 次元に対しても、genus に関する和は自明に発散する。
• 発散する genus 和を漸近的級数として扱った場合、エントロピーは conformal 次元の平方根に比例し、AdS 単位でホライズン面積に線形に比例する。
• エントロピーの主要寄与は無限大であるが、conformal 次元に依存しないため、非摂動的効果が和を規格化する必要がある。
• 提案された解決策である、e^{k^{-3/2}} のオーダーの非摂動的効果は、和を有限にし、有限で面積に比例するエントロピーをもたらす可能性がある。
• この結果は、強い結合性（k ≈ O(1)）における量子重力効果が、幾何的微状態を通じて完全に黒点エントロピーを説明できるという推測的メカニズムを支持する。