[論文レビュー] Geometric normal subgroups in mapping class groups of punctured surfaces

Alan McLeay|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 28被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、穴あき曲面の拡大写像類群の多くの正規部分群が幾何的であることを確立している。すなわち、それらの自己同型群および抽象的共役群が、完全な拡大写像類群と同型であることを意味する。主な結果は、部分群の要素の最小被覆に対する複雑性条件に依拠しており、これは閉曲面におけるBrendle-Margalitの結果を、単体的複体の自己同型の剛性を用いて穴あき曲面へ一般化したものである。

ABSTRACT

We prove that many normal subgroups of the extended mapping class group of a surface with punctures are geometric, that is, that their automorphism groups and abstract commensurator groups are isomorphic to the extended mapping class group. In order to apply our theorem to a normal subgroup we require that the "minimal supports" of its elements satisfy a certain complexity condition that is easy to check in practice. The key ingredient is proving that the automorphism groups of many simplicial complexes associated to punctured surfaces are isomorphic to the extended mapping class group. This resolves many cases of a metaconjecture of N. V. Ivanov and extends work of Brendle-Margalit, who prove the result for surfaces without punctures.

研究の動機と目的

• 閉曲面から穴あき曲面へのBrendle-Margalitの幾何的正規部分群に関する結果の拡張。
• Ivanovのメタ予想、すなわち写像類群の正規部分群の自己同型群と共役群が同型であるかどうかの解決。
• 正規部分群が幾何的であるための十分条件を、最小被覆の複雑性に基づいて確立すること。
• 十分に高い genus および穴の数を持つ穴あき曲面において、ジョンソンフィルトレーションの項が幾何的であることを証明すること。
• 穴あき曲面に関連する主要な単体的複体の自己同型群が、拡大写像類群と同型であることを示すこと。

提案手法

• 正規部分群の要素に対して、その要素が含まれる部分曲面で、同じ位相型を持つ真の部分曲面に含まれないものを、その要素の『最小被覆』と定義する。
• 3つの要素の被覆に関する genus と穴の数の不等式を用いて、『小被覆』の概念を導入する。ここには最小被覆を持つ要素と、他の2つの要素が含まれる。
• 写像類群が曲線複体およびその変種に作用することにより、自己同型の剛性を確立する。
• 可換図式の議論を用いて、正規部分群の複体の自己同型群が拡大写像類群と同型であることを証明する。
• ジョンソンフィルトレーションに主定理を適用する際には、タイプ Σ_{2,0}^1、Σ_{1,1}^1、および Σ_{0,3}^1 の被覆を持つ要素について、小被覆条件を満たしていることを確認する。
• 有限指数部分群は抽象的共役群が同型であるという事実を活用し、問題を純粋部分群に還元し、単射性および同型性の結果を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 穴あき曲面の拡大写像類群の正規部分群が、自己同型群が完全な群と同型であるという意味で『幾何的』であるための条件は何か？
• RQ2 穴あき曲面に関連する単体的複体の自己同型の剛性は、正規部分群の幾何的性を示すために利用可能か？
• RQ3 genus と穴の数の不等式によって定義される『小被覆』条件は、正規部分群が幾何的であることを保証するのに十分か？
• RQ4 genus ≥5 かつ十分な数の穴を持つ穴あき曲面において、ジョンソンフィルトレーションの項は幾何的か？
• RQ5 穴の存在は、閉曲面と比較して、正規部分群の自己同型群および共役群にどのような影響を与えるか？

主な発見

• 正規部分群 N の自己同型群は、N に属するすべての最小被覆要素が小被覆条件を満たす限り、拡大写像類群と同型である。
• このような N の抽象的共役群もまた、拡大写像類群と同型であり、閉曲面における結果を穴あき曲面へ拡張した。
• g ≥ 5 かつ n ≥ 5 である曲面 Σ_{g,n} に対して、ジョンソンフィルトレーションの項 J_k(Σ) は、すべての最小被覆要素が小被覆条件を満たすため、幾何的である。
• 正規部分群の複体 C_N(Σ) の自己同型群は、単射かつ全射である well-defined ホモモーフィズム Φ を通じて、拡大写像類群と同型である。
• 証明は、穴あき曲面に関連する単体的複体の自己同型の剛性に依拠しており、Ivanov よりも、Brendle-Margalit の結果を穴あきの場合へ一般化したものである。
• 小被覆条件は、部分群 N が曲面に十分に『散らばっている』ことを保証し、これにより曲線複体の技法および共役群の剛性を適用可能にする。