[論文レビュー] Geometric (pre)quantization in the polysymplectic approach to field theory

Igor V. Kanatchikov|ArXiv.org|Dec 31, 2001

Advanced Topics in Algebra参考文献 34被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、古典場理論の多対称的構造に基づく幾何学的プリ量子化を展開し、ポisson-ゲルステンハーバー括弧を用いて場の理論的観測量に対するプリ量子化シュレーディンガー方程式を導出する。主な貢献は、クライフ・代数値をとる波動関数と、幾何学的量子化の原理に基づき量子力学を場理論へ一般化する共変ディラック型方程式である。

ABSTRACT

The prequantization map for a Poisson-Gerstenhaber algebra of dynamical variables represented by differential forms within the polysymplectic formulation of the De Donder--Weyl covariant Hamiltonian field theory is presented and the corresponding prequantum Schroedinger equation for a non-homogeneous form valued wave function is derived. This is the first step toward understanding the procedures of covariant precanonical field quantization from the point of view of geometric quantization.

研究の動機と目的

• De Donder–Weyl ハミルトン場理論の幾何学的プリ量子化枠組みを、多対称的幾何学を用いて確立すること。
• 幾何学的量子化と整合するように、微分形式値観測量のプリ量子化作用素表現を定義すること。
• 標準的量子力学的シュレーディンガー方程式を場理論へ一般化するプリ量子化シュレーディンガー方程式を導出すること。
• 一貫した作用素実現を通じて、プリケナティックな量子化計画と幾何学的量子化の原理を結びつけること。
• 微分形式とクライフ代数を用いて、プリケナティック場の量子化の数学的構造を理解する基盤を提供すること。

提案手法

• 本稿は、退化する形式を modulo とする微分形式の同値類として、拡張された多モーメント位相空間上に多対称的構造を導入する。
• 多対称的形式から導かれるハミルトニアン多重ベクトル場を用いて、微分形式上にポisson-ゲルステンハーバー括弧を定義する。
• 各水平形式 $ F $ に対して、非同次微分形式として表現される波動関数上に作用する微分作用素 $ O_F $ を割り当てるプリ量子化写像を構成する。
• 波動関数は、$ \omega_\mu \bullet \rightarrow -\frac{1}{\varkappa} \gamma_\mu $ を特定する「クライフ化」写像を経て、クライフ代数値の対象へと拡張される。これにより、確率的解釈に必要な時空計量が導入される。
• プリ量子化シュレーディンガー方程式は $ i\hbar\varkappa \gamma^\mu \partial_\mu \Psi = \widehat{H} \Psi $ として導出され、$ \widehat{H} $ はクライフ代数値波動関数上に作用するディラック作用素として表現される。
• 共通の外微分次数と反転反自己同型を用いたプリ量子化写像の修正により、形式的枠組みは偶数次元および奇数次元の両方の時空次元に対して普遍的であることが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多対称的形式を用いた力学から場理論への幾何学的プリ量子化をどのように拡張できるか？
• RQ2 場の理論的状況において、ポisson-ゲルステンハーバー代数構造を保存する観測量の適切な作用素表現は何か？
• RQ3 標準的量子力学的シュレーディンガー方程式を場理論へ一般化するプリ量子化シュレーディンガー方程式をどのように導出できるか？
• RQ4 クライフ代数は、場変数の量子力学的ダイナミクスを明示的に共変的に実現するために果たす役割は何か？
• RQ5 微分形式と作用素代数を用いて、プリケナティックな量子化計画を幾何学的量子化の原理にどのように根拠づけることができるか？

主な発見

• プリ量子化シュレーディンガー方程式は $ i\hbar\varkappa \gamma^\mu \partial_\mu \Psi = \widehat{H} \Psi $ として導出され、ここで $ \Psi $ はクライフ代数値波動関数である。
• ハミルトニアン作用素 $ \widehat{H} $ は、スカラー場の相互作用に対して $ -\frac{1}{2}\hbar^2\varkappa^2 \Delta + V(y) $ として実現され、$ \Delta $ は場空間におけるラプラシアン作用素である。
• 多モーメントは $ \hat{p}_a^\mu = -i\hbar\varkappa \gamma^\mu \partial / \partial y^a $ として表現され、これは場理論における運動量作用素の一般化である。
• 共通の外微分次数と反転反自己同型を用いたプリ量子化写像の修正により、形式的枠組みはすべての時空次元 $ n $ に対して普遍的である。
• 波動関数の確率的解釈には時空計量が必要であり、これは計量 $ \eta_{\mu\nu} $ がクライフ積に導入するクライフ代数構造を通じて組み込まれる。
• プリ量子化写像 $ O_F $ がポisson-ゲルステンハーバー括弧と正しい交換関係を満たすことが示され、古典的代数的構造と整合していることが保証される。