[論文レビュー] Geometric sharp large deviations for random projections of $\ell_p^n$ spheres and balls

Yin-Ting Liao, Kavita Ramanan|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2020

Point processes and geometric inequalities参考文献 30被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、高次元漸近下における$π_p^n$球面および球体のスカラー射影について、フーリエ解析的および確率的技法を用いて、クエンチド（固定された射影方向条件下）の鋭い大偏差推定を確立する。その結果、尾確率における前因子が射影方向に依存しており、球面と球体の幾何的差異を反映していることが明らかになった。これは対数的漸近より精度の高い近似を提供し、古典的なBahadur-Rao補正を幾何的設定に一般化するものである。

ABSTRACT

Accurate estimation of tail probabilities of projections of high-dimensional probability measures is of relevance in high-dimensional statistics and asymptotic geometric analysis. Whereas large deviation principles identify the asymptotic exponential decay rate of probabilities, sharp large deviation estimates also provide the "prefactor" in front of the exponentially decaying term. For fixed $p \in (1,\infty)$, consider independent sequences $(X^{(n,p)})_{n \in \mathbb{N}}$ and $(Θ^n)_{n \in \mathbb{N}}$ of random vectors with $Θ^n$ distributed according to the normalized cone measure on the unit $\ell_2^n$ sphere, and $X^{(n,p)}$ distributed according to the normalized cone measure on the unit $\ell_p^n$ sphere. For almost every realization $(θ^n)_{n\in\mathbb{N}}$ of $(Θ^n)_{n\in\mathbb{N}}$, (quenched) sharp large deviation estimates are established for suitably normalized (scalar) projections of $X^{(n,p)}$ onto $θ^n$, that are asymptotically exact (as the dimension $n$ tends to infinity). Furthermore, the case when $(X^{(n,p)})_{n \in \mathbb{N}}$ is replaced with $(\mathscr{X}^{(n,p)})_{n \in \mathbb{N}}$, where $\mathscr{X}^{(n,p)}$ is distributed according to the uniform (or normalized volume) measure on the unit $\ell_p^n$ ball, is also considered. In both cases, in contrast to the (quenched) large deviation rate function, the prefactor exhibits a dependence on the projection directions $(θ^n)_{n \in\mathbb{N}}$ that encodes additional geometric information that enables one to distinguish between projections of balls and spheres. Moreover, comparison with numerical estimates obtained by direct computation and importance sampling shows that the obtained analytical expressions for tail probabilities provide good approximations even for moderate values of $n$.

研究の動機と目的

• 高次元における$π_p^n$球面および球体の射影について、対数的漸近を超える鋭い大偏差推定を提供すること。
• 尾確率における前因子が射影方向にどのように依存するかを特定し、球面と球体の幾何的差を捉えること。
• 古典的なBahadur-Raoの鋭い大偏差結果を、$π_p^n$ノルムを含む幾何的・高次元的設定に一般化すること。
• 次元$n \to \infty$において、固定された射影方向条件下（クエンチド）の尾確率について、漸近的に正確な推定を確立すること。
• 直接計算およびインポータンスサンプリングからの数値推定と比較することで、解析的結果の妥当性を検証し、中程度の$n$に対しても精度が保たれることを示すこと。

提案手法

• 射影方向$(\theta^n)$のほとんど確実な実現値に条件づけたクエンチド大偏差理論の使用。
• 射影された確率的ベクトルの特性関数を分析するためのフーリエ解析的技法の採用。
• 多変数一般化ラプラス漸近法を用いて、尾確率における鋭い前因子を導出すること。
• クエンチドレート関数の簡略化された、厳密に凸な表現を導出し、幾何的解釈を可能にする。
• 尾挙動の漸近的解析を支援するため、歪められた測度の下での中心極限定理の確立。
• 重要度サンプリングと数値的妥当性確認を用いて、有限$n$における解析的近似の正確性を検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元における$π_p^n$球面および球体の射影に関する鋭い大偏差推定における前因子は、射影方向にどのように依存するか？
• RQ2 $π_p^n$球面および球体の確率的射影について、クエンチド鋭い大偏差推定を導出できるか？また、アンネールドまたは対数的漸近と比べてどのように異なるか？
• RQ3 レート関数のみに含まれない、尾確率の前因子に埋め込まれた幾何的情報は何か？
• RQ4 $n$が中程度のとき、尾確率の解析的表現の精度はどの程度で、数値的推定と比べてどうなるか？
• RQ5 本結果は、古典的なBahadur-Rao補正を$π_p^n$空間の幾何的設定にどの程度一般化できるか？

主な発見

• 鋭い大偏差推定における前因子は、射影方向$(\theta^n)$に明示的な依存を示し、$π_p^n$球面と球体の射影を区別している。
• クエンチドレート関数は厳密に凸であり、幾何的解釈を容易にする簡略化された表現が得られた。
• 得られた解析的尾確率推定は、$n \to \infty$において漸近的に正確であり、中程度の$n$に対しても数値的推定と良好に一致している。
• 本結果は、BahadurとRanga Raoの精神に則った古典的な鋭い大偏差推定を、$π_p^n$ノルムを含む幾何的・高次元的設定に一般化している。
• 歪められた測度の下で、確率的射影に関する中心極限定理が確立され、漸近的解析を支援している。
• 証明技法から、多変数一般化ラプラス漸近法や一様偏差推定といった、独立に興味深い結果が得られている。