[論文レビュー] Geometric Structures in Field Theory

Manuel de León, Michael A. McLean+3 more|ArXiv.org|Aug 26, 2002

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 72被引用数 30

ひとこと要約

本稿は、$k$-symplectic、$k$-tangent、multisymplectic、および $n$-symplectic 構造を比較・対比させることで、古典場理論の幾何的定式化を統一する。$L_{\rho}E$ 上の $m$-symplectic 幾何を用いたフレームワークを確立し、一般化されたハミルトニアン方程式を導出。これは、正則性および特定のパrameter選択のもとで de Donder-Weyl 方程式と Rund の正準方程式が特殊ケースとして回復されることを示す。

ABSTRACT

This review paper is concerned with the generalizations to field theory of the tangent and cotangent structures and bundles that play fundamental roles in the Lagrangian and Hamiltonian formulations of classical mechanics. The paper reviews, compares and constrasts the various generalizations in order to bring some unity to the field of study. The generalizations seem to fall into two categories. In one direction some have generalized the geometric structures of the bundles, arriving at the various axiomatic systems such as k-symplectic and k-tangent structures. The other direction was to fundamentally extend the bundles themselves and to then explore the natural geometry of the extensions. This latter direction gives us the multisymplectic geometry on jet and cojet bundles and n-symplectic geometry on frame bundles.

研究の動機と目的

• 古典場理論の多様な幾何的アプローチ（$k$-symplectic、$k$-tangent、multisymplectic、$n$-symplectic 構造）を統一すること。
• 接バンドル／余接バンドルの公理的一般化とバンドル自体の根本的拡張の対比を通じて、場理論の定式化に生じる不整合を解消すること。
• 場理論の統一的フレームワークとして、$L_{\rho}E$ 上に一貫性のある $m$-symplectic 定式化を確立すること。
• 特定の条件下で既知の結果（de Donder-Weyl、Rund）に還元される一般化されたハミルトニアン方程式を導出すること。
• $L_{\rho}E$ 上でのラグランジアンの正則性を定義し、特異でないヘッセ行列の条件により、正準運動量を座標系に組み込むこと。

提案手法

• 適切に選ばれたフレームバンドル $L_{\rho}E$ 上の $m$-symplectic 幾何を用い、ベクトル値のソルディング 1-形式 $\theta_L$ とテンソル値の構造方程式 $u^*(\eta \mathbin{\righthalfcup} d\theta^i_L) = 0$ を導入する。
• $J^1\pi$ 上のカルタン＝ハミルトン＝ポincare $n$-形式 $\Theta_L$ を、標準的 $k$-tangent 構造とテンソル $S_\alpha$ を用いて $L_{\rho}E$ に持ち上げる。
• ヘッセ行列 $\left(E^{*i}_A \circ E^{*j}_B(L)\right)$ が非特異である場合、$L_{\rho}E$ 上の座標として正準運動量 $p^i_A = \partial L / \partial u^A_i$ を導入する。
• ベクトル場 $\eta = \partial / \partial p^i_A$ および $\eta = \partial / \partial y^A$ を用いて構造方程式を評価し、一般化されたハミルトン方程式を二組導出する。
• de Donder-Weyl 方程式は $\tau(n) = 1/n$ とし、インデックスを合算することで回復され、Rund の方程式はより複雑な条件下で得られる。
• $m$-symplectic 構造を用いて対称なポincare代数を定義し、$m$-symplectic フレームワーク内でのハミルトン＝ジャコビ方程式およびオイラー＝ラグランジュ方程式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして $k$-symplectic、$k$-tangent、multisymplectic、$n$-symplectic 構造を、場理論の一つの幾何的フレームワークに統一できるか？
• RQ2 $L_{\rho}E$ とその $m$-symplectic 構造が、ハミルトニアンおよびラグランジュ場理論を一般化する役割を果たすのはどのような場合か？
• RQ3 一般化された $m$-symplectic ハミルトニアン方程式が、どのような条件下で de Donder-Weyl もしくは Rund の正準方程式に還元されるか？
• RQ4 ラグランジアンの正則性条件によって、正準運動量 $p^i_A$ が $L_{\rho}E$ 上の座標として一貫して導入できるのはどのような場合か？
• RQ5 テンソル値構造方程式 $u^*(\eta \mathbin{\righthalfcup} d\theta^i_L) = 0$ が場の方程式を導出する上で果たす意義は何か？

主な発見

• $L_{\rho}E$ 上の $m$-symplectic 形式は、$k$-symplectic、$k$-cosymplectic、multisymplectic 構造を一般化する統一的幾何的フレームワークを提供する。
• 一般化された正準方程式 $u^*(\eta \mathbin{\righthalfcup} d\theta^i_L) = 0$ は、$\eta = \partial / \partial p^i_A$ および $\eta = \partial / \partial y^A$ の場合に、$m$-symplectic ハミルトニアン方程式の二組を導く。
• 式 (140) は $j=k$ として合算し、$\tau(n) = 1/n$ と置くことで得られ、de Donder-Weyl 正準方程式の半分を再現する。
• 式 (141) は $\bar{u}^i_j$ が定数であると仮定することで、$\partial \bar{p}^i_A / \partial x^i = -\partial h / \partial y^A \circ u$ に簡略化され、これと (140) を併せることで、de Donder-Weyl システム全体が得られる。
• $m$-symplectic ハミルトン＝ジャコビ方程式が導出され、$m$-symplectic 構造およびライプシッツ変換と整合的であることが示された。
• ヘッセ行列 $\left(E^{*i}_A \circ E^{*j}_B(L)\right)$ の非特異性によって定義される正則性条件により、正準運動量 $p^i_A$ が $L_{\rho}E$ 上の座標として使用可能であることが保証される。