[論文レビュー] Geometric transversality in higher genus Gromov-Witten theory

Andreas Gerstenberger|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 17被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、CieliebakとMohnkeの genus 0 の超曲面的手法を任意の genus に一般化することで、高 genus の Gromov-Witten 理論における幾何的横断性を確立する。ハミルトニアン摂動、シンプレクティック場理論のコンパクトネス、および精密なモジュライ空間解析を用いて、標的多様体に well-defined な擬サイクル類を構成する。主な結果は、ホロモルフィック曲線の横断性を保証する次元推定であり、標的シンプレクティック多様体に位相的制約を課さずに、整合的な Gromov-Witten 不変量を定義可能にする。

ABSTRACT

The construction of manifold structures and fundamental classes on the (compactified) moduli spaces appearing in Gromov-Witten theory is a long-standing problem. Up until recently, most successful approaches involved the imposition of topological constraints like semi-positivity on the underlying symplectic manifold to deal with this situation. One conceptually very appealing approach that removed most of these restrictions is the approach by K. Cieliebak and K. Mohnke via complex hypersurfaces, [CM07]. In contrast to other approaches using abstract perturbation theory, it has the advantage that the objects to be studied still are spaces of holomorphic maps defined on Riemann surfaces. This article aims to generalise this from the case of surfaces of genus 0 dealt with in [CM07] to the general case, also using some of the methods from [IP03] and symplectic field theory, namely the compactness results from [BEH+03].

研究の動機と目的

• Cieliebak と Mohnke の genus 0 の超曲面手法を、半正性などの位相的制約を課さずに、高 genus の Gromov-Witten 理論に拡張すること。
• 任意の genus のホロモルフィック曲線に対して、標的シンプレクティック多様体に well-defined な擬サイクル類を構成し、ほぼ複素構造の変形に対して不変であることを保証すること。
• ノード付きリーマン面とメラモーフィックビルディングを含む安定写像のモジュライ空間を解析することで、高 genus における幾何的横断性を確立すること。

提案手法

• リーマン面の genus g と n 個のマークド点を持つホロモルフィック写像のモジュライ空間で横断性を達成するために、ハミルトニアン摂動を用いる。
• モジュライ空間の閉包におけるバブルリングと境界ストラトゥムを制御するために、シンプレクティック場理論のコンパクトネス結果を適用する。
• 異なる genus とマークド点の数にわたる一貫性のある構造を定義するために、正規化されたノード付きマークドリーマン面の族と関連する忘却写像を用いる。
• 成分間の接続性とグリューリングデータを制御するために、ノードおよびマークド点における正則性条件と整合性条件を導入する。
• Euler 標跡とチャーン類の項を用いて期待次元を上から抑えることで、ホロモルフィック曲線のモジュライ空間およびその成分の次元推定を導出する。
• 精巧なコンパクトネスと境界ストラトゥムの解析により、一般の場合をホモロジー類が 0 である場合に還元し、摂動のもとで横断性が保たれることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Cieliebak と Mohnke の genus 0 の超曲面手法を、シンプレクティック多様体に半正性やその他の位相的制約を課さずに、高 genus の Gromov-Witten 理論に拡張可能か？
• RQ2 モジュライ空間が自然に多様体でない場合、高 genus におけるホロモルフィック曲線に対して幾何的横断性をどのように保証できるか？
• RQ3 ノード付きリーマン面とメラモーフィックビルディングを持つホロモルフィック曲線のモジュライ空間の正しい次元推定は何か？
• RQ4 異なるストラトゥム間で評価写像と忘却写像を一貫して定義するにはどうすればよいか？ これにより、ほぼ複素構造の変形に対して不変性が保証される。
• RQ5 ノードおよびマークド点で横断性を維持し、擬サイクルが well-defined であるために必要な整合性条件と接続条件は何か？

主な発見

• g ≥ 1 の genus におけるホロモルフィック曲線のモジュライ空間は、提示された摂動とコンパクトネス枠組みのもとで well-defined な擬サイクル構造を有し、Gromov-Witten 不変量の定義を可能にする。
• メラモーフィックビルディングと接続条件を有するホロモルフィック曲線のモジュライ空間の期待次元は、標的空間の実次元から 2 を引いた値より小さく抑えられ、横断性が保証される。
• モジュライ空間の閉包はコンパクトであり、ノード付きリーマン面とメラモーフィックビルディングによるストラチフィケーションを持つ。境界ストラトゥムは整合性条件と接続条件によって制御される。
• 評価写像を介して定義された擬サイクル類は、ほぼ複素構造の変形に対して不変である。これは、摂動されたモジュライ空間の族を通じたコバーディズムを構成することで示される。
• 次元推定と境界ストラトゥムの解析により、一般の場合がホモロジー類が 0 である場合に還元され、一般ケースは有限個の位相的型に簡略化される。
• 最終的な次元推定により、すべての整合性条件と接続条件を満たすホロモルフィック曲線のモジュライ空間の実次元は dimℝ(M) − 2 以下であることが確認され、幾何的意味での横断性が証明される。