[論文レビュー] Geometrization of the local Langlands correspondence: an overview

L Fargues|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 23被引用数 32

ひとこと要約

本稿では、p-進曲線のG-バンドルのスタック上にヘッケ固有層を構成することによって、p-進体上の幾何学的ラングランズ対応を提案する。この対応はp-進ホッジ理論、局所ラングランズ対応、幾何的表現論を結びつける。主な結果は、基本的コネクシオン類の層の上のSφ作用を通じてL-パケッジが実現されることであり、アーベルの場合にはキャラクター層およびヘッケ固有性が確認されている。

ABSTRACT

This article is an overview of the geometrization conjecture for the local Langlands correspondence formulated by the author.

研究の動機と目的

• 新しい曲線とG-バンドルのスタックを用いて、p-進局所体における幾何的ラングランズ対応を定式化すること。
• 予想的なヘッケ固有層を介して、p-進ホッジ理論、幾何的ラングランズ、局所ラングランズ対応を統一すること。
• Sφ作用が基本的σ-共轭類に対応するJb(E)-表現の上に作用することで、この層がL-パケッジを実現することを確立すること。
• クリスタリン表現とガロア作用を用いて、アーベルの場合にキャラクター層およびヘッケ固有性を検証すること。

提案手法

• Fq-完全体空間S上にperfectoid曲線XSを構成し、関連するE-adic空間|XS|とG-バンドルスタックBunGを定義する。
• Bdr-アフィングラスマンジャンを用いてヘッケ対応を定義し、コキャラクターμで添えられたシューベルト胞体を用いる。
• Kottwitzの双対性|BunG, F̄q| ≅ B(G)を用いて、G-バンドルをσ-共轭類で分類する。
• FφをBunG × F̄q上のWeil- perverse層として実現し、楕円的点におけるフロベニウス作用を備える。
• δ ∈ G(E)ellにおける層の茎がNμ′と可換なフロベニウス作用を持つことを示すことにより、キャラクター層性を証明する。
• Galois表現ρδ,μ′と局所クラス体理論とのベースチェンジの整合性を用いて、ヘッケ固有性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのように新しいp-進曲線を用いて、p-進体上での局所ラングランズ対応を幾何化できるか？
• RQ2 Bdr-アフィングラスマンジャンは、G-バンドルのヘッケ対応を定義する上で果たす役割は何か？
• RQ3 Sφ作用が、拡張純内型JbのためのL-パケッジをどのように実現するか？
• RQ4 アーベルの場合に、クリスタリン表現とガロア作用はどのようにヘッケ固有性を保証するか？
• RQ5 FφとしてのWeil-perverser層としての正確な幾何的・算術的構造は何か？（キャラクター層性を備える。）

主な発見

• BunG上の予想的なヘッケ固有層FφはSφ-不変であり、基本的Kottwitz類上の層の上での作用を通じてL-パケッジを実現する。
• 各基本的[b] ∈ B(G)に対し、対応する点におけるFφの層の茎は、Jb(E)の滑らかな表現であり、Sφ作用と可換である。
• キャラクター層性が成立する：G(E)ellに属する楕円的元δにおける層の茎にはフロベニウス作用が存在し、Weil局所系をなす。
• アーベルの場合、クリスタリン表現ρδ,μ′と公式ρδ,μ′ ∘ Art(x) = Nμ′(x)−1（x ∈ OE′×）を用いてヘッケ固有性が確認される。
• ヘッケスタック上での同型h̃*Tbδ ≅ ĥ*Tb ∧ Tδ,μ′crisにより、Galois-equivariantな変更を介してヘッケ固有性が裏付けられる。
• 局所クラス体理論の同型H1(WE, T̂) ≅ Hom(T(E), Q̄ℓ×)はベースチェンジと整合的であり、固有値rμ′∘φの一貫性が保証される。