[論文レビュー] Geometry of Character Varieties of Surface Groups

Motohico Mulase|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、表面群のキャラクターベイリティの幾何学をレビューし、ヒチン可積分系と、ベクター束のモジュライ空間、鏡像対称性、ラングランズ双対性との関連に焦点を当てる。Satoのグラスマン多様体を通じて、ヒチン系とn成分KP可積分階層の間の対応を確立し、ヒチンのファイブレーションがグラスマン多様体上の力学系に引き上げられ、その軌道がプリム多様体を実現することを示している。

ABSTRACT

This article is based on a talk delivered at the RIMS--OCAMI Joint International Conference on Geometry Related to Integrable Systems in September, 2007. Its aim is to review a recent progress in the Hitchin integrable systems and character varieties of the fundamental groups of Riemann surfaces. A survey on geometric aspects of these character varieties is also provided as we develop the exposition from a simple case to more elaborate cases.

研究の動機と目的

• 表面群のキャラクターベイリティの幾何的構造を調査し、特に安定ベクター束のモジュライ空間との関係を明らかにすること。
• ヒチン可積分系がシンプレクティック幾何学、代数幾何学、および数理物理学を結ぶ役割を明確にすること。
• Satoのグラスマン多様体を通じて、ヒチン系とn成分KP可積分階層との間のカテゴリカル的かつ幾何的ブリッジを確立すること。
• 4次元ヤン・ミルズ理論の次元削減とヒチン系におけるT双対性を通じて、鏡像対称性とラングランズ双対性がどのように生じるかを明らかにすること。
• モジュライスタックと無限次元グラスマン多様体が、古典的安定束のモジュライよりも、双対性現象を理解する上でより自然な枠組みであると提唱すること。

提案手法

• 有限群および再帰的群に対して、群作用と安定化部分群を丁寧に取り扱った、$\mathrm{Hom}(\pi_1(\Sigma_g), G)/G$ としてのキャラクターベイリティ構成を用いる。
• アティヤ＝ボットのアプローチを$U_n$-キャラクターベイリティに適用し、ヤン・ミルズ理論とシンプレクティック幾何学を結びつける。
• リーマン面上のヒッグス束のヒッグスの構成を用いて、モジュライ空間$\mathcal{H}_C(n,d)$に正則シンプレクティック形式を定義する。
• ファイブレーション$H: \mathcal{H}_C(n,d) \to V_{GL}$を導入し、ファイバーがスペクトル曲線の一般化されたヤコビアンと同型であることを示す。
• スカラー作用$\lambda \cdot \phi$による商をとることで、$\mathbb{P}(\mathcal{H}_C(n,d))$ という射影的バージョンを構成し、重み付き射影空間上へのファイブレーションを得る。
• 射影的ヒチン系の基底からSatoのグラスマン多様体への有理写像$\iota$を確立し、KP階層の軌道がモジュライ空間の像として実現されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 表面群のキャラクターベイリティは、可積分系とベクター束のモジュライ空間とどのように関係するか？
• RQ2 ヒチン系とn成分KP階層との間の正確な幾何的・力学的対応は何か？
• RQ3 ヒチンのファイブレーションは、プリム多様体とスペクトル曲線の幾何学とどのように関係するか？
• RQ4 T双対性とフーリエ＝ムカイ変換を通じて、ヒチン系から鏡像対称性とラングランズ双対性はどのように生じるか？
• RQ5 なぜ無限次元Satoのグラスマン多様体は、キャラクターベイリティにおける双対性を理解する上で、有限次元のモジュライ空間よりもより適切な枠組みなのか？

主な発見

• 有限群$G$に対して、$\mathrm{Hom}(\pi_1(\Sigma_g), G)/G$ の数え上げ公式は、代数分解$\mathbb{C}[G] \cong \bigoplus_{\lambda \in \hat{G}} \mathrm{End}(\lambda)$ から得られ、$\left| \mathrm{Hom}(\pi_1(\Sigma_g), G) \right| / |G| = \sum_{\lambda \in \hat{G}} \left( \frac{\dim \lambda}{|G|} \right)^{2-2g}$ となる。
• $G = GL_n(\mathbb{C})$-ヒッグス束のモジュライ空間$\mathcal{H}_C(n,d)$ は、複素構造$I$, $J$, $K$ を持ち、正則シンプレクティック形式$\omega_I$ を持つハイパーカイリィアン多様体である。
• ヒチンのファイブレーション$H: \mathcal{H}_C(n,d) \to V_{GL}$ のファイバーは、一般化されたヤコビアン$\mathrm{Jac}(C_s)$ の有限被覆であり、次数は$2^{3(g-1)} \cdot 3^{5(g-1)} \cdots n^{(2n-1)(g-1)}$ である。
• 射影的ヒチンモジュライ空間$\mathbb{P}(\mathcal{H}_C(n,d))$ は、重み付き射影空間$\mathbb{P}_w(V_{GL})$ 上へのファイブレーションを備え、ヒチン系がSatoのグラスマン多様体上の力学系に引き上げられる。
• 有理写像$\iota: \mathbb{P}_w(V_{GL}) \to \mathrm{Grass}$ は、基底をSatoのグラスマン多様体に埋め込み、$\iota(\mathbb{P}_w(V_{GL}))$ を出発点とするn成分KP方程式の軌道が、$\mathbb{P}(\mathcal{H}_C(n,d))$ に双有理同型である。
• 空間$\mathbb{P}(\mathcal{H}_C(n,d))$ 上の力学系は、$\iota$ を通じてn成分KP方程式の引き戻しであり、その軌道はトレースレスKP系に対してプリム多様体を実現する。