[論文レビュー] Geometry of multi-marginal martingale optimal transportations and duality

Tongseok Lim|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 44被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、複数の資産に依存するオプションを想定したマルティングゲール最適輸送の一般化として、マルチマージンマルティングゲール最適輸送（MMOT）を導入する。MMOT問題における双対最適化子の存在を確立し、プライマル解における幾何的構造を明らかにするとともに、距離型コスト関数の場合に極値の条件付き相関が最適輸送計画に現れることを示す。

ABSTRACT

The theory of Optimal Transport (OT) and Martingale Optimal Transport (MOT) were inspired by problems in economics and finance and have flourished over the past decades, making significant advances in theory and practice. MOT considers the problem of pricing and hedging of a financial instrument, referred to as an option, assuming its payoff depends on a single asset price. In this paper we introduce Multi-marginal Martingale Optimal Transport (MMOT) problem, which considers the more general and realistic situation in which the option payoff depends on multiple asset prices. We address this problem of pricing and hedging given market information -- described by multi-marginals -- which is an intimately relevant setup in the robust financial framework. We establish that the MMOT problem, as an infinite-dimensional linear programming, admits an optimizer for its dual program. Such existence result of dual optimizers is significant for several reasons: the dual optimizers describe how a person who is liable for an option payoff can formulate optimal hedging portfolios, and more importantly, they can provide crucial information on the geometry of primal optimizers, i.e. the MMOTs. As an illustration, we show that multiple martingales given marginals must exhibit an extremal conditional correlation structure whenever they jointly optimize the expectation of distance-type cost functions.

研究の動機と目的

• 複数の基礎資産価格に依存するオプションに対してマルティングゲール最適輸送を拡張すること。
• 複数の周辺分布として表される市場情報のもとでのロバストな価格設定とヘッジ戦略のモデル化。
• MMOTの無限次元線形計画形式における双対最適化子の存在を確立すること。
• 双対性を用いてプライマルMMOT解の幾何的洞察を明らかにすること。

提案手法

• マルチマージナルおよびマルティングゲール条件を含む無限次元線形計画問題としてMMOT問題を定式化する。
• MMOT問題に双対性理論を適用し、明確に定義された最適化子を有する双対計画を導出する。
• 双対最適化子の存在を用いて、プライマルMMOT計画の構造的性質を導出する。
• 距離型コスト関数下での条件付き相関構造を分析することで、最適輸送計画の幾何的性質を解明する。
• 変分法および凸解析的手法を用いて、コンactnessの欠如下でも双対解の存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マルチマージナルマルティングゲール最適輸送問題において、双対最適化子が存在する条件は何か？
• RQ2 距離型コスト関数の下で、最適輸送計画の幾何的性質、特に条件付き相関はどのように振る舞うか？
• RQ3 期待コストを同時に最小化するマルチマージナルマルティングゲール結合において、どのような構造的制約が生じるか？
• RQ4 双対最適化子は、複数資産オプションの価格設定における最適ヘッジ戦略をどのように構築できるか？
• RQ5 複数資産の同時依存性は、輸送計画の極値的挙動をどのように規定するか？

主な発見

• MMOT問題の双対計画は最適化子を有する。これは無限次元最適化における顕著な理論的成果である。
• 双対最適化子の存在により、複数資産オプションの最適ヘッジ戦略の構築が可能になる。
• 距離型コスト関数を最小化する際、プライマルMMOT解は極値の条件付き相関構造を示す。
• 複数のマルティングゲール間の条件付き相関は、最適輸送計画において極値に達する。
• 双対性フレームワークにより、マルチマージナルマルティングゲール結合に深い幾何的制約が明らかになり、双対性と輸送計画の構造的性質が結びつく。