[論文レビュー] Geometry of rank 2 distributions with nonzero Wilczynski invariants and affine control systems with one input

Boris Doubrov, Igor Zelenko|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 26被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、一般化されたウィルツィンスキー不変量が消えない $\mathbb{R}^n$ 内の最大クラスの階数2分布および1入力のアフィン制御系に対して、異常極値の標準パラメータ化を活用して、正規フレームの構成を展開する。$\mathfrak{sl}_2$-表現および曲線の射影的不変量を用いることで、ノルム近似に依存しない $(2n-3)$-次元の正規フレームを構築し、$n \geq 5$ の場合に、対称的モデルのモジュライ空間を完全に特徴づける。主な貢献は、ヤコビ曲線のシンプレクティック幾何学を用いた、こうした系の統一的かつ不変的な幾何的枠組みの確立である。

ABSTRACT

We demonstrate how the novel approach to the local geometry of structures of nonholonomic nature, originated by Andrei Agrachev, works in the following two situations: rank 2 distributions of maximal class in R^n with non-zero generalized Wilczynski invariants and rank 2 distributions of maximal class in R^n with additional structures such as affine control system with one input spanning these distributions, sub-(pseudo)Riemannian structures etc. The common feature of these two situations is that each abnormal extremal (of the underlying rank 2 distribution) possesses a distinguished parametrization. This fact allows one to construct the canonical frame on a (2n-3)-dimensional bundle in both situations for arbitrary n greater than 4. The moduli spaces of the most symmetric models for both situations are described as well. The relation of our results to the divergence equivalence of Lagrangians of higher order is given

研究の動機と目的

• 一般化されたウィルツィンスキー不変量が消えない $\mathbb{R}^n$ 内の最大クラスの階数2分布に対して、ゼロ不変量の場合を越えて正規フレームを構築すること。
• 異常極値の標準パラメータ化を活用して、1入力のアフィン制御系のための幾何的枠組みを確立すること。
• シンプレクティック不変量および $\mathfrak{sl}_2$-表現を用いて、両設定における最も対称的なモデルのモジュライ空間を特徴づけること。
• ヤコビ曲線の微分幾何学を活用することで、分布、部分リーマン幾何、制御系という異なる幾何的構造の間で正規フレームの構成を統一すること。

提案手法

• 異常極値のヤコビ曲線（ラグランジュ・グラスマン多様体内に値をとる曲線）を用いて、シンプレクティック不変量を抽出する。
• 特に、メビウス変換を除いて一意な標準パラメータ化が存在する $\mathbb{R}P^{n-2}$ 内の曲線に課された射影構造の理論を適用する。
• 非ゼロの一般化されたウィルツィンスキー不変量が、異常極値の区別可能なパラメータ化を可能にし、射影構造に代わるものであるという事実に依拠する。
• ヤコビ曲線のシンプレクティック曲率の構造と $\mathfrak{sl}_2$-表現論を用いて、$(2n-3)$-次元のバンドル上に正規フレームを構成する。
• 主要な式には、$[e, \varepsilon_1] = -\frac{1}{2}\varepsilon_1$ や $[h, \varepsilon_{2m}] = \sum_{i=1}^{m-1} (-1)^{i+1} r_i \varepsilon_{2(m-i)}$ のような括弧関係が含まれており、これらがフレームの構造を決定する。
• この方法はノルム近似や成長ベクトルに依存せず、ヤコビ曲線の内在的幾何学とそのシンプレクティック不変量に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたウィルツィンスキー不変量が非ゼロである場合に、$\mathbb{R}^n$ 内の最大クラスの階数2分布に対して正規フレームをどのように構成できるか。また、フレームバンドルの最小次元は何か。
• RQ2 非ゼロ不変量の下で、異常極値の標準パラメータ化が射影構造をどのように置き換えるか。
• RQ3 一般化されたウィルツィンスキー不変量が非ゼロである場合に、1入力アフィン制御系の正規フレーム構成は、標準的なタナカ拡張とどのように異なるか。
• RQ4 分布および制御系設定における最も対称的なモデルのモジュライ空間は何か。また、どのようにパラメータ化されるか。
• RQ5 正規フレームの構成が、分布のノルム近似および成長ベクトルにどれほど依存しないか。

主な発見

• 一般化されたウィルツィンスキー不変量が消えない $\mathbb{R}^n$ 内の最大クラスの階数2分布に対して、すべての $n \geq 5$ に対して、$(2n-3)$-次元のバンドル上に正規フレームが構成された。
• この構成は、異常極値の標準パラメータ化の存在に依拠しており、不変量が非ゼロのとき、射影構造に代わる。
• 最も対称的なモデルのモジュライ空間は、ヤコビ曲線から導かれるシンプレクティック曲率 $r_i$ からなるタプル $(r_1, \ldots, r_{n-3})$ の空間として記述される。
• 正規フレームの構造関数は、タプル $(r_1, \ldots, r_{n-3})$ によって完全に決定され、すべての非自明な括弧関係がこれらの定数の関数として表現可能である。
• フレームはノルム近似や成長ベクトルに依存しないため、古典的なタナカ法よりも広いクラスの分布に適用可能である。
• 1入力アフィン制御系において、正則性条件により、異常極値の標準パラメータ化が適切に定義され、同じ $(2n-3)$-次元バンドル上に一意な正規フレームが得られる。