[論文レビュー] Gerbe-holonomy for surfaces with defect networks

Ingo Runkel, Rafał R. Suszek|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2008

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 35被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、接続を持つgerbeを用いて、欠損ネットワークを有する2次元sigma模型のholonomy形式を導入し、共形的でないトップولوجカルな欠損を区別する欠損接続条件を導出する。WZW模型において、古典的および量子的holonomy計算は、標的群Gの中心Z(G)上にcohomologousな3-cocycleをもたらし、古典的幾何学と量子場理論の間の深い関係を確立する。

ABSTRACT

We define the sigma-model action for world-sheets with embedded defect networks in the presence of a three-form field strength. We derive the defect gluing condition for the sigma-model fields and their derivatives, and use it to distinguish between conformal and topological defects. As an example, we treat the WZW model with defects labelled by elements of the centre Z(G) of the target Lie group G; comparing the holonomy for different defect networks gives rise to a 3-cocycle on Z(G). Next, we describe the factorisation properties of two-dimensional quantum field theories in the presence of defects and compare the correlators for different defect networks in the quantum WZW model. This, again, results in a 3-cocycle on Z(G). We observe that the cocycles obtained in the classical and in the quantum computation are cohomologous.

研究の動機と目的

• 3形式の場強度Hを伴う状況下で、埋め込まれた欠損ネットワークを有する世界面に対するsigma模型作用の定式化。
• 欠損接合部における場およびその微分の整合的な接続条件を、ホモトピー移動の不変性に基づいて導出すること。
• 導出された接続条件を用いて、共形的欠損とトップロジカル欠損を区別すること。
• Z(G)の元によってラベル付けされた欠損を有するWZW模型におけるholonomyを計算し、Z(G)上に3-cocycleを導出すること。
• 古典的および量子的holonomy計算を比較し、得られる3-cocycleがcohomologousであることを示すこと。

提案手法

• 標的空間M上に接続を持つgerbeに関連するU(1)値holonomyの対数として、トポロジカル項S_top[X]を有するsigma模型作用を定式化する。
• パッチ、重複部、三重重複部における局所データ(B, A, g)を用い、移行関数fおよびゲージポテンシャルPを組み込むことでholonomyを定義する。
• 円形欠損に対してbi-branes、接合部に対してinter-bi-branesを用いて欠損ネットワークを定義し、D-branesおよびgerbeモジュールを接合構造へ一般化する。
• 欠損ネットワークのホモトピー移動に対する作用の不変性を分析することで、場の値および接続に関する一貫性条件を導出する。
• 頂点移動を用いて新たなネットワーク-場配置を構築し、holonomyの差を計算することで、このような移動に対する不変性を示す。
• WZW模型における古典的および量子的holonomy計算を比較し、Z(G)上に得られる3-cocycleがcohomologousであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3形式の場強度を伴う状況下で、埋め込まれた欠損ネットワーク（接合部を含む）を有する世界面に対するsigma模型作用を一貫して拡張する方法は何か？
• RQ2 欠損接合部における埋め込み場Xおよびその微分に必要な接続条件は何か？ そして、それらは共形的欠損とトップロジカル欠損をどのように区別するか？
• RQ3 複数の接合部および円形欠損を含む欠損ネットワークのholonomyの幾何学的・代数的構造は何か？
• RQ4 Z(G)ラベル付き欠損を有する古典的WZW模型におけるholonomy計算は、Z(G)上にどのように3-cocycleを生成するか？
• RQ5 古典的holonomy計算から得られる3-cocycleは、WZW模型における量子相関関数から得られるものとcohomologousか？

主な発見

• 欠損ネットワークを有する世界面のholonomyは、gerbeデータ(B, A, g)を用いて一貫して定義され、inter-bi-branesを介して接合部へ拡張され、境界およびbi-brae holonomyの一般化をなす。
• ホモトピー移動に対する作用の不変性から導出された欠損接続条件は、接合部における場の配置の一貫性を保証し、共形的欠損とトップロジカル欠損を区別する。
• Z(G)の元によってラベル付けされた欠損を有するWZW模型において、古典的holonomy計算は、gerbeおよび移行関数の構造から生じるZ(G)上に3-cocycleをもたらす。
• 量子的WZW模型において、異なる欠損ネットワークに対する相関関数もまた、理論の因子化および対称性の性質を用いてZ(G)上に3-cocycleをもたらす。
• 古典的holonomy計算から得られる3-cocycleは、量子的計算から得られるものとcohomologousであり、古典的幾何学と量子場理論の間の深い一貫性を確立する。
• 頂点移動に対する作用の不変性は、holonomy差の計算により確認され、欠損ネットワーク形式の整合性を裏付ける。