[論文レビュー] Gersten weight structures for motivic homotopy categories; direct summands of cohomology of function fields and coniveau spectral sequences

Mikhail V. Bondarko|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 48被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、モーレル＝ヴォエヴォズキーの三角的モチーフホモトピー圏 $SH^{S^1}(k)$ を通るコホモロジー理論に対して、$SH^{S^1}(k)$-ファンクター様性を有するネイビューゼ・スペクトル系列の構成を、新たに構築されたモチーフ的プロスペクトルの圏 $Τ$ におけるゲルステン・ウェイト構造を用いて確立する。主な貢献は、アフィン的本質的に滑らかな半局所的スキームおよび原始的スキームのコホモロジーが、それらの開稠密部分スキームのコホモロジーの直和成分であることを示し、古典的ブロッホ＝オグスのスペクトル系列をモチーフ的スペクトルへ一般化することにある。

ABSTRACT

For any cohomology theory $H$ that can be factorized through (the Morel-Voevodsky's triangulated motivic homotopy category) $SH^{S^1}(k)$ (or through $SH(k)$) we establish the $SH^{S^1}(k)$-functorialty (resp. $SH(k)$-one) of coniveau spectral sequences for $H$. We also prove: for any affine essentially smooth semi-local $S$ the Cousin complex for $H^*(S)$ splits; if $H$ also factorizes through $SH^+(k)$ or $SH^{MGL}(k)$, then this is also true for any primitive $S$. Moreover, the cohomology of such an $S$ is a direct summand of the cohomology of any its open dense subscheme. This is a vast generalization of the results of a previous paper. In order to prove these results we consider certain categories of motivic pro-spectra, and introduce Gersten weight structures for them. Our results rely on several interesting statements on weight structures in cocompactly cogenerated triangulated categories and on the '$SH^+(k)$-acyclity' of primitive schemes. .

研究の動機と目的

• 任意の完全体に対して、これまでに研究された範囲を超えた広範なコホモロジー理論のファンクター様性および分割性の性質を、ネイビューゼ・スペクトル系列へと拡張すること。
• モチーフ的ホモトピー圏において、半局所的および原始的スキームのコホモロジーに対するファンクター様性および直和成分の性質の欠如を解消すること。
• $SH^{S^1}(k)^c$ および $k$ 上の関数体のプロスペクトルを含む、$\mathfrak{D}$ と表記されるモチーフ的プロスペクトルの三角的圏を構成し、ウェイト構造の研究を可能にする。
• ゲルステン・ウェイト構造と関連するウェイトスペクトル系列を用いて、$SH^{S^1}(k)^c$ 内の任意の対象に対して、古典的ブロッホ＝オグスのネイビューゼ・スペクトル系列を一般化すること。
• プロスペクトルおよび双対性を用いて、関数体およびその剰余体のコホモロジーが、それらの開部分スキームのコホモロジーに直和成分として現れることを証明する。

提案手法

• $k$ 上の関数体のプロスペクトルおよび $SH^{S^1}(k)^c$ を含む、$\mathfrak{D}$ と表記されるモチーフ的プロスペクトルの三角的圏を構成し、$\mathfrak{D}^T$、$\mathfrak{D}^+$、$\mathfrak{D}^{MGl}$ をそれぞれ異なるモチーフ的圏に対応させて構成する。
• cocompactly cogenerated な三角的圏の新しい構成法を用いて、ホモトピー $t$-構造と直交するゲルステン・ウェイト構造 $w$ を $\mathfrak{D}$ に導入する。
• ポストニコフ塔を用いて、滑らかな多様体の $SH^{S^1}(k)$-スペクトルをその点のねじれ付きプロスペクトルの直和に分解し、これらのねじれ付きプロスペクトルが $w$ のハートに属することを示す。
• $w$ に関連するウェイトスペクトル系列を用いて、$SH^{S^1}(k)^c$ 内の任意の対象のコホモロジーに対して、古典的ネイビューゼ・スペクトル系列を一般化し、それらを $SH^{S^1}(k)$ 内の代表対象のホモトピー $t$-切断で表現する。
• $H$ が $SH^{S^1}(k)$ を通る場合、アフィン的本質的に滑らかな半局所的スキーム $S$ に対して $H^*(S)$ のコージン複体が分裂し、任意の開稠密部分スキーム $U \subset S$ に対して $H^*(S)$ が $H^*(U)$ の直和成分であることを、ウェイト構造および双対性を用いて証明する。
• $SH(k)$-、$SH^+(k)$-、および $SH^{MGl}(k)$-ファンクター様性を、$SH^{S^1}(k)$、$SH^+(k)$、$SH^{MGl}(k)$ を通るコホモロジー理論が直和成分およびスペクトル系列の性質を引き継ぐことを示すことにより、ネイビューゼフィルトレーションおよびスペクトル系列のファンクター様性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コホモロジー理論が $SH^{S^1}(k)$ を通る場合、任意の完全体において、モチーフ的ホモトピー圏におけるネイビューゼ・スペクトル系列をファンクター様にできるか。
• RQ2 アフィン的本質的に滑らかな半局所的スキームおよび原始的スキームのコホモロジー群は、それらの開稠密部分スキームのコホモロジーの直和成分に分解可能か。
• RQ3 モチーフ的プロスペクトルの圏におけるウェイト構造を用いて、$SH^{S^1}(k)^c$ 内の任意の対象に対して、古典的ブロッホ＝オグスのネイビューゼ・スペクトル系列を一般化できるか。
• RQ4 $\mathfrak{D}$ 上のゲルステン・ウェイト構造が、モチーフ的スペクトルのコホモロジーおよびスペクトル系列の構造を制御する役割を果たすか。
• RQ5 $\mathfrak{D}$ 内で、関数体のプロスペクトルおよびその剰余体のプロスペクトルの関係は何か。また、それらがコホモロジーにどのような直和成分の性質を誘導するか。

主な発見

• 任意の $SH^{S^1}(k)$ を通るコホモロジー理論に対して、ネイビューゼ・スペクトル系列は $SH^{S^1}(k)$-ファンクター様であり、ブロッホ＝オグスの結果をモチーフ的スペクトルへ一般化する。
• 任意のアフィン的本質的に滑らかな半局所的スキーム $S$ に対して、$H^*(S)$ のコージン複体は分裂し、$H$ が $SH^{S^1}(k)$ を通る限り、任意の開稠密部分スキーム $U \subset S$ に対して $H^*(S)$ は $H^*(U)$ の直和成分である。
• $H$ が $SH^+(k)$ や $SH^{MGl}(k)$ を通る場合、原始的スキーム $S$ に対しても同様の直和成分性質が成り立ち、半局所的でない場合にも適用可能である。
• $\mathfrak{D}$ 内の関数体のプロスペクトルは、すべての幾何的付値に対してその剰余体のねじれ付きプロスペクトルを含むため、その関数体のコホモロジーは、関数体自体のコホモロジーの直和成分である。
• ゲルステン・ウェイト構造に伴うウェイトスペクトル系列は、古典的ネイビューゼ・スペクトル系列を一般化しており、$SH^{S^1}(k)$ 内の代表対象のホモトピー $t$-切断で表現可能である。
• 結果は、$SH(k)$、$SH^+(k)$、$SH^{MGl}(k)$ を通るコホモロジー理論へも拡張可能であり、$K$-理論、代数的コボルディズム、複素数 $K$-理論、ウィットコホモロジーなど、適切な底体の仮定のもとで成り立つ。