[論文レビュー] Global existence and asymptotic behavior of solutions to the Euler equations with time-dependent damping

Xinghong Pan|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2016

Navier-Stokes equation solutionsMathematics参考文献 37被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、$0 < \lambda < 1$ および $\mu > 0$ の条件下で、時間に依存する減衰項 $\frac{\mu}{(1+t)^\lambda}\rho\mathbf{u}$ を有する多変数等エントロピーのEuler方程式に対して、小データ解の全域的存在および最良漸近的減衰率を確立する。音速に基づく可変変数を用いた重み付きエネルギー推定と、巧みなリャプノフ汎関数の構築により、解が時間に対して多項式的（多項式的）に減衰することを証明し、対応する線形散乱波方程式の減衰率と一致する。また、3次元では渦度が指数的（指数的）に減衰することを示す。

ABSTRACT

We study the isentropic Euler equations with time-dependent damping, given by $\frac{\mu}{(1+t)^\lambda} ho u$. Here, $\lambda,\mu$ are two non-negative constants to describe the decay rate of damping with respect to time. We will investigate the global existence and asymptotic behavior of small data solutions to the Euler equations when $0<\lambda<1,0<\mu$ in multi-dimensions $n\geq 1$. The asymptotic behavior will coincide with the one that obtained by many authors in the case $\lambda=0$. We will also show that the solution can only decay polynomially in time while in the three dimensions, the vorticity will decay exponentially fast.

研究の動機と目的

• 多変数 $n \geq 1$ における等エントロピーのEuler方程式に対して、時間に依存する減衰項 $\frac{\mu}{(1+t)^\lambda}\rho\mathbf{u}$ を有する小データ古典解の全域的存在を確立すること。
• $0 < \lambda < 1$ および $\mu > 0$ の下で、解の漸近的挙動、特に定常背景状態への減衰率を特定すること。
• 線形化系と同一の減衰を有する場合の減衰率と一致することを示し、解が拡散波に似た挙動を示すことを示すこと。
• 渦度の役割を分析し、3次元においては主変数が多項式的（多項式的）に減衰する中で、渦度が指数的（指数的）に速やかに減衰することを証明すること。

提案手法

• 対称双曲型系の重み付きエネルギー推定を構築するため、密度の代わりに音速を新たな従属変数として導入する。
• 西原の研究に由来する、有効減衰を有する線形波方程式にインspiredされた巧みな重み関数を用いる。
• 高階導関数を制御するため、$e^{2\psi}$、時間重み $(K+t)^{\lambda}$、エネルギーノルムを含むリャプノフ汎関数を構築する。
• グリーン関数との積分および位相関数解析を用いたエネルギー推定により、減衰率を導出する。
• 時間微分および勾配の結合に起因する負の項を吸収するために、コーシー＝シュワルツとヤングの不等式を適用する。
• 連続性による議論と、カトウ／マジダによる局所存在性を用いて、局所解を全域に拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間に依存する減衰項 $\frac{\mu}{(1+t)^\lambda}\rho\mathbf{u}$ を有するEuler系は、$0 < \lambda < 1$ および $\mu > 0$ の下で、小初期データに対して全域的古典解を有するか？
• RQ2 これらの減衰条件の下で、定常状態 $(1, \mathbf{0})$ への解の最良減衰率は何か？
• RQ3 解の漸近的挙動は、対応する線形散乱波方程式の挙動と一致するか？
• RQ4 特に3次元において、渦度は時間経過とともにどのように振る舞うか？
• RQ5 減衰パラメータ $\lambda$ および $\mu$ の選択により、減衰率を向上または変更できるか？

主な発見

• $0 < \lambda < 1$ および $\mu > 0$ の下で、すべての次元 $n \geq 1$ において、適切なソボレフ正則性のもとで小初期データに対して全域的古典解が存在する。
• 解は時間に対して多項式的（多項式的）に減衰し、$\rho - 1$ および $\mathbf{u}$ の $L^\infty$ ノルムの減衰率は $\sim (1+t)^{-(1+\lambda)/2}$ に一致する。これは $\lambda = 0$ の線形系と一致する。
• $L^2$ および $L^\infty$ ノルムの解は、同一の減衰を有する線形散乱波方程式の基本解と整合的な減衰推定を満たす。
• 3次元では、主変数が多項式的（多項式的）に減衰する中で、渦度が指数的（指数的）に速やかに減衰する。
• 重み付きエネルギー推定フレームワークは、高階導関数を効果的に制御し、連続性による議論により全域的存在を保証する。
• 減衰率は、線形系の挙動と一致するため、鋭い（鋭い）ものであると確認され、解の漸近的プロファイルが拡散波に一致することを裏付ける。