[論文レビュー] Global existence, regularity and a probabilistic scheme for a class of ultraparabolic Cauchy problems

Christian Fries, Joerg Kampen|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、部分領域で弱ヒルマンダー条件を満たすクラスの退化超放物型初期値問題について、構成的アプローチに基づき、マルティノ・カレンダリアスおよび確率解析を用いて、グローバルな存在性と正則性を確立する。Malliavin共分散行列が可逆でない場合でも、経路に依存する重み補正を施した重み付きモンテカルロスキームを導入し、低次元LIBOR市場モデルにおける価値関数およびその感応度（グリークス）の計算が可能となる。

ABSTRACT

In this paper we establish a constructive method in order to show global existence and regularity for a class of degenerate parabolic Cauchy problems which satisfy a weak Hoermander condition on a subset of the domain where the data are measurable and which have regular data on the complementary set of the domain. This result has practical incentives related to the computation of Greeks in reduced LIBOR market models, which are standard computable approximations of the HJM-description of interest rate markets. The method leads to a probabilistic scheme for the computation of the value function and its sensitivities based on Malliavin calculus. From a practical perspective the main contribution of the paper is an Monte-Carlo algorithm which includes weight corrections for paths which move in time into a region where a (weak) Hoermander condition holds.

研究の動機と目的

• 標準的なMalliavin微積分が、Malliavin共分散行列が可逆でないために失敗する低次元LIBOR市場モデルにおけるグリークス計算の課題に対処すること。
• 弱ヒルマンダー条件が部分領域で成り立つ測度可能なデータを伴う、超放物型初期値問題のクラスについて、グローバルな存在性と正則性を確立すること。
• 拡散項が状態空間の特定領域で退化する場合でも、安定的かつ高精度に保たれる確率的数値スキームを構築すること。
• 経路に依存する重み補正を組み込むことで、Lipschitz連続係数および滑らかでない初期データを有する問題に対し、モンテカルロ法の適用範囲を拡張すること。

提案手法

• 弱ヒルマンダー型条件の下で退化放物型方程式に対して、ADスキーム（交互方向スキーム）を構築し、解を構成する。
• SDEに適応したペアノ法を適用し、係数の線形成長およびリプシッツ連続性の下でグローバル存在性と弱正則性を保証する。
• 経路が弱ヒルマンダー条件が成り立つ領域Hに進入または脱出するかどうかに応じて、重みを補正する重み付きモンテカルロアルゴリズムを導入する。
• 経路が退化領域Hに進入する際の補正項 $ \Delta C_{t_i} $ を、第一および第二階Malliavin重み $ H^j $ および $ H^{jk} $ を用いて計算する。
• 四つの経路状態（$ W^{00}, W^{ii}, W^{0i}, W^{i0} $）を定義し、重み補正および補正増分を適用するタイミングと方法を決定する。
• 価値関数およびその感応度を $ u(t,x) = \mathbb{E}[f(X_T^0)W_T] + \sum_{i=1}^N \mathbb{E}[\Delta C_{t_i}] $ として計算し、$ W_T $ は局所的重みの積である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱ヒルマンダー条件が領域の一部で成り立つ測度可能なデータを伴う超放物型初期値問題について、グローバルな存在性と正則性を確立できるか？
• RQ2 Malliavin共分散行列が $ p \geq 1 $ に対して $ L^p $ 内で可逆でない場合、モンテカルロ法をどのように修正して感応度（グリークス）を計算できるか？
• RQ3 Lipschitz連続係数を有する退化拡散モデルにおいて、価値関数およびその微分の安定的かつ計算可能な確率的スキームは何か？
• RQ4 このような問題に対して、経路に依存する重み補正を体系的に導出し、モンテカルロフレームワークに実装する方法は何か？

主な発見

• 本稿では、領域の一部で弱ヒルマンダー条件が成り立ち、残りの領域で測度可能なデータを有するクラスの退化超放物型初期値問題について、解のグローバル存在性と弱正則性が証明される。
• 交互方向スキームを用いた構成的解法が開発され、標準的な強楕円型条件や強いヒルマンダー条件が成立しない場合でも、存在性と正則性が保証される。
• 提案された重み付きモンテカルロスキームは、拡散項が一様に非退化でない退化領域Hに経路が進入する場合に、補正を施すことで、価値関数および感応度の計算に成功する。
• 補正項 $ \Delta C_{t_i} $ は、第一および第二階Malliavin重み $ H^j $ および $ H^{jk} $ を用いて導出され、Malliavin行列が可逆でない場合でも、正確な感応度推定が可能となる。
• スキームはLipschitz連続係数に対して安定であり、ペイオフ関数に指数的成長バウンドを許容するため、有界または連続なペイオフ関数に限定されない。
• 確率解析と経路ごとの重み調整を組み合わせることで、要因削減により退化ダイナミクスを示す低次元LIBOR市場モデルにおける実用的グリークス計算が可能となる。