[論文レビュー] Global-in-time probabilistically strong and Markov solutions to stochastic 3D Navier--Stokes equations: existence and non-uniqueness

Martina Hofmanová, Rongchan Zhu+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2021

Navier-Stokes equation solutions参考文献 32被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、加法的トレースクラスノイズを伴う確率的3次元ナビエ＝ストークス方程式に対して、無限に多くの時間全域で定義された確率的に強い解および解析的に弱い解の存在を確立し、法則における非一意性およびマルコフ過程の非一意性を証明する。これらの結果は、凸結合と間欠的ジェットの確率的応用により得られ、確率的流体力学における長年の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

We are concerned with the three dimensional incompressible Navier--Stokes equations driven by an additive stochastic forcing of trace class. First, for every divergence free initial condition in $L^{2}$ we establish existence of infinitely many global-in-time probabilistically strong and analytically weak solutions, solving one of the open problems in the field. This result in particular implies non-uniqueness in law. Second, we prove non-uniqueness of the associated Markov processes in a suitably chosen class of analytically weak solutions satisfying a relaxed form of an energy inequality. Translated to the deterministic setting, we obtain non-uniqueness of the associated semiflows.

研究の動機と目的

• 加法的トレースクラスノイズを伴う確率的3次元ナビエ＝ストークス方程式に対する時間全域で定義された確率的に強い解の存在という未解決問題を解決すること。
• 任意の$L^2$初期データを伴う確率的ナビエ＝ストークス方程式における法則の非一意性を確立すること。
• 緩和されたエネルギー不等式を満たす解析的に弱い解のクラスにおいて、マルコフ過程の非一意性を証明すること。
• 凸結合法を確率的設定に拡張し、決定的技法を確率的偏微分方程式に適応すること。
• 確率的ノイズが3次元ナビエ＝ストークス方程式の文脈でパスごとの一意性またはマルコフ選択を保証しないことを示すこと。

提案手法

• スケーリングされたカットオフ関数と周期化を用いて構築された間欠的ジェットを用いた、確率的偏微分方程式への凸結合法の適応。
• 反復的凸結合を通じて速度増分$v_{q+1}$とレイノルズ応力$\mathring{R}_{q+1}$を構築し、エネルギー制御と発散なしの構造を保証すること。
• 確率的滑らか化とパラメータ化されたジェット$W_{(\xi)}$、および補正項$W_{(\xi)}^{(c)}$を用いて、誤差項を除き確率的ナビエ＝ストークス方程式を満たすこと。
• マルコフ過程の非一意選択を可能にするために、マルティングール解への確率的拡張を適用し、可測選択定理を用いること。
• 高周波数の振動とエネルギー集中を達成するため、パrameter $r_\perp \ll r_\| \ll 1$, $\lambda \gg 1$, $\mu \gg 1$ を用いた間欠的ジェットの使用。
• コンパクトな台を持ち、平均がゼロである正規化関数$\phi$, $\Phi$, $\psi$を用いて、発散なしの速度場を構築し、$L^p$-推定を用いてノルムを制御すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 加法的トレースクラスノイズを伴う確率的3次元ナビエ＝ストークス方程式に対して、時間全域で定義された確率的に強い解を構築できるか？
• RQ2 任意の$L^2$初期データを伴う確率的3次元ナビエ＝ストークス方程式において、法則の非一意性が生じるか？
• RQ3 緩和されたエネルギー不等式を満たす解析的に弱い解のクラスから、非一意なマルコフ過程を選択できるか？
• RQ4 確率的ノイズは、解の一意性という観点で、3次元ナビエ＝ストークス方程式をどの程度正規化するか？
• RQ5 凸結合法を確率的設定に拡張し、非一意解を生成できるか？

主な発見

• 任意の$L^2$における発散なしの初期条件に対して、確率的3次元ナビエ＝ストークス方程式に対して、無限に多くの時間全域で定義された確率的に強く、解析的に弱い解が存在する。
• 法則における非一意性が確立され、解の法則が初期データによって一意に定まらないことを示している。
• 緩和されたエネルギー不等式を満たす適切に選ばれた解析的に弱い解のクラスにおいて、マルコフ過程の非一意性が証明された。
• これらの結果は、確率的リフトを介して、決定的設定における関連する半群の非一意性を示唆する。
• 構成は、間欠的ジェットと補正項を用いてレイノルズ応力を制御する、凸結合法の確率的適応に依存している。
• 速度増分および応力項のための必要な$L^p$-ノルム推定が達成され、$r_\perp$, $r_\|$, $\lambda$, $\mu$ に依存する境界が得られている。