[論文レビュー] Global smooth and topological rigidity of hyperbolic lattice actions

Aaron Brown, Federico Rodriguez Hertz+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 27被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、コンパクトなニル多様体上の双曲的ラティス作用に関して、全般的な滑らかさおよび位相的剛性を確立する。双曲的線形データまたはアノソフ力学の下で、連続的な準同型写像（滑らかでアノソフの場合には $C^\infty$ 同型写像）が存在し、これは、高ランクの単純なリー群のコまちラティスおよび $\mathrm{SL}(n,\mathbb{Z})$ が $\mathbb{T}^n$（$n \geq 5$）に作用する場合に $C^\infty$ 全般的剛性をもたらす。

ABSTRACT

In this article we prove global rigidity results for hyperbolic actions of higher-rank lattices. Suppose $Γ$ is a lattice in semisimple Lie group, all of whose factors have rank $2$ or higher. Let $α$ be a smooth $Γ$-action on a compact nilmanifold $M$ that lifts to an action on the universal cover. If the linear data $ρ$ of $α$ contains a hyperbolic element, then there is a continuous semiconjugacy intertwining the actions of $α$ and $ρ$, on a finite-index subgroup of $Γ$. If $α$ is a $C^\infty$ action and contains an Anosov element, then the semiconjugacy is a $C^\infty$ conjugacy. As a corollary, we obtain $C^\infty$ global rigidity for Anosov actions by cocompact lattices in semisimple Lie group with all factors rank $2$ or higher. We also obtain global rigidity of Anosov actions of $\mathrm{SL}(n,\mathbb Z)$ on $\mathbb T^n$ for $ n\geq 5$ and probability-preserving Anosov actions of arbitrary higher-rank lattices on nilmanifolds.

研究の動機と目的

• 高ランクラティス作用がコンパクトなニル多様体上で作用する場合の、全般的な位相的および滑らかな剛性を確立すること。
• このような作用が線形データに準同型写像（滑らかでアノソフの場合には同型写像）として写されることが証明され、ジンマー・プログラムの予想を拡張すること。
• 欠損関数のコhomological な消滅を用いて、ニル多様体上での作用の持ち上げ問題を解決すること。
• 高ランクの単純なリー群のコまちラティスのアノソフ作用について、$C^\infty$ 全般的剛性を確立すること。
• $n \geq 5$ の場合に、$\mathrm{SL}(n,\mathbb{Z})$ が $\mathbb{T}^n$ に作用する場合の剛性を証明すること。

提案手法

• 近似同型写像と中心的欠損の制御を用いて、作用 $\alpha$ とその線形データ $\rho$ 間の連続的準同型写像を構築する。
• 持ち上げ性質と $\pi_1$-因子を用いて、欠損関数が制御されたニルポテン群作用に問題を還元する。
• 持ち上げが可換にならぬ度合いを測る欠損関数 $\beta_i(\gamma_1, \gamma_2)$ を定義し、$Z_i \cap \Lambda_i$ に値をとる。
• 不変測度との積分を用いて $d_{\rho_i,1}\eta = \beta_i$ を示し、$H^2_{\rho_i}(\Gamma; \mathbb{Z}^{d_i})$ 内で欠損関数 $\beta_i$ が消えることを証明する。
• 一貫した作用の持ち上げを可能にするために、有限指数部分群 $\hat{\Gamma}$ に移行する。
• コ cycle の超剛性および軌道閉包の結果を適用して、力学を制御し、同型写像の正則性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトなニル多様体上に作用する滑らかなラティス作用が、その線形データに対して $C^\infty$ 同型写像をもつのはどのような条件下か？
• RQ2 双曲的ラティス作用がニル多様体上で作用する場合、その線形表現に連続的準同型写像が存在するのはいつか？
• RQ3 コhomological な欠損関数の消滅を用いて、ニル多様体上での作用の持ち上げ障害を解消できるか？
• RQ4 高ランクラティスのアノソフ作用が $\mathrm{SL}(n,\mathbb{Z})$ によって $\mathbb{T}^n$ に作用する場合の、全般的剛性クラスは何か？
• RQ5 高ランクラティスがニル多様体上で測度を保存するアノソフ作用を行う場合、$C^\infty$ 全般的剛性が成立するか？

主な発見

• コンパクトなニル多様体上で双曲的線形データを持つ滑らかな $\Gamma$-作用に対して、$\Gamma$ の有限指数部分群上で線形作用への連続的準同型写像が存在する。
• 作用が $C^\infty$ でかつアノソフ要素を含む場合、この準同型写像は $C^\infty$ 同型写像に拡張される。
• 有限指数部分群に移行することで、欠損関数 $\beta_i$ が $H^2_{\rho_i}(\Gamma; \mathbb{Z}^{d_i})$ 内で消えることが保証され、作用の一貫した持ち上げが可能になる。
• すべての因子のランクが $\geq 2$ である単純なリー群のコまちラティスのアノソフ作用に対して、$C^\infty$ 全般的剛性が成立する。
• 本論文では、$n \geq 5$ の場合に、$\mathrm{SL}(n,\mathbb{Z})$ が $\mathbb{T}^n$ に作用する場合の $C^\infty$ 全般的剛性を確立した。
• 任意の高ランクラティスがニル多様体上で測度を保存するアノソフ作用を行う場合、$C^\infty$ 全般的剛性が成立する。