[論文レビュー] Goldstone bosons in the massless Thirring model. Witten's criterion

M. Faber, A. N. Ivanov|ArXiv.org|May 20, 2003

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、質量ゼロのスカラー（擬スカラー）場の量子が、ア公理論の手順でフェルミオン理論をカイラル対称性が破れた相にボソン化した際、ウィッテンのゴールドストーン粒子基準を満たしていることを示している。低エネルギー定理および軸ベクトルカレントのウォード恒等式が、この場の寄与によってのみ非自明に満たされることが示されたことで、この量子が、量子場理論フレームワークにおいて赤外発散が存在しないにもかかわらずゴールドストーン粒子であることが確認された。

ABSTRACT

We discuss the Ward identity and the low-energy theorem for the divergence of the axial-vector current in the massless Thirring model with fermion fields quantized in the chirally broken phase (Eur. Phys. J. C20, 723 (2001)). The Ward identity and the low-energy theorem are analysed in connection with Witten's criterion for Goldstone bosons (Nucl. Phys. B145, 110 (1978)). We show that the free massless (pseudo)scalar field bosonizing the massless Thirring model in the chirally broken phase satisfies Witten's criterion to interpret quanta of this field as Goldstone bosons. As has been shown in hep-th/0210104 and hep-th/0212226, Goldstone's criterion, the non-invariance of the wave function of the ground state, is also fulfilled.

研究の動機と目的

• 質量ゼロの（擬）スカラー粒子が存在する質量ゼロのシッタリング模型と、1+1次元におけるスネイクスの対称性の自発的破れに関するコロンベアの定理との見かけの矛盾を解消すること。
• 自由な質量ゼロ（擬）スカラー場の量子が、ウィッテンのゴールドストーン粒子基準を満たすかどうかを検証すること。この基準は、ウォード恒等式および低エネルギー定理を満たすためにその寄与が本質的である必要があることを要請する。
• カイラル対称性が破れた相における軸ベクトルカレントの発散に関する低エネルギー定理とギャップ方程式の整合性を確立すること。
• シュワーツクラス上に定義され、フーリエモードがゼロである部分空間 $\mathcal{S}_0(\mathbb{R}^2)$ における $\vartheta(x)$ の量子場理論が、赤外発散を回避し、数学的に整合的であることを示し、これによりコロンベアの定理を回避すること。

提案手法

• 質量ゼロのシッタリング模型における軸ベクトルカレント発散のウォード恒等式および低エネルギー定理を、カイラル対称性がある場合と破れた場合に分けて導出する。
• ボソン化写像を用いて、カイラル対称性が破れた相におけるフェルミオン理論を、自由な質量ゼロ（擬）スカラー場理論に書き換える。この場 $\vartheta(x)$ がゴールドストーンモードを記述する。
• ウィッテンの基準を適用し、$\vartheta(x)$ の量子が、特に軸カレントが保存されない場合に、ウォード恒等式および低エネルギー定理に非自明に寄与しているかどうかを分析する。
• Wightmanの観測量を、$\tilde{h}(0) = 0$ を満たす部分空間 $\mathcal{S}_0(\mathbb{R}^2)$ 上に定義することで、$\vartheta(x)$ の量子場理論を構築し、赤外発散を回避するとともに内積の正定値性を保証する。
• Källén–Lehmannのスペクトル関数 $\rho_2(m^2)$ が $M\delta(m^2 - M^2)$ でなければならないことを示すことで、低エネルギー定理とギャップ方程式の整合性を検証する。
• カイラル対称性の下での基底状態波動関数の不変性が成り立たないことを確認し、ゴールドストーンの基準を満たす。また、真空期待値 $\langle \cos\beta\vartheta(0) \rangle = 1$ が、非ゼロのフェルミオン凝集体 $\langle \bar{\psi}\psi \rangle = -M/g$ を意味することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 質量ゼロの自由（擬）スカラー場 $\vartheta(x)$ の量子は、ウィッテンのゴールドストーン粒子基準を満たすか？
• RQ2 カイラル対称性が破れた相において、軸ベクトルカレントの低エネルギー定理およびウォード恒等式は、1+1次元量子場理論の制約に反することなく、非自明に満たされるか？
• RQ3 1+1次元において、赤外発散を回避する自由な質量ゼロ（擬）スカラー場の整合的量子場理論をどのように構築できるか？
• RQ4 質量ゼロのシッタリング模型におけるゴールドストーン粒子の存在は、1+1次元における自発的対称性の破れの非存在を主張するコロンベアの定理と整合するか？
• RQ5 真空期待値 $\langle \cos\beta\vartheta(0) \rangle$ は、ダイナミカルなフェルミオン質量の生成およびギャップ方程式との整合性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 自由な質量ゼロ（擬）スカラー場 $\vartheta(x)$ の量子は、カイラル対称性が破れた相において、ウォード恒等式および低エネルギー定理への唯一の非自明な寄与を提供するため、ウィッテンのゴールドストーン粒子基準を満たす。
• カイラル対称性がある相ではウォード恒等式が $0=0$ に簡略化されるが、カイラル対称性が破れた相では、軸ベクトルカレントの非ゼロ発散が、$\vartheta(x)$ 場の寄与によってのみ満たされる。
• 真空期待値 $\langle \cos\beta\vartheta(0) \rangle = 1$ は非ゼロであり、これにより非ゼロのフェルミオン凝集体 $\langle \bar{\psi}\psi \rangle = -M/g$ が得られ、カイラル対称性の自発的破れが確認される。
• 低エネルギー定理とギャップ方程式の整合性を保つためには、Källén–Lehmannのスペクトル関数 $\rho_2(m^2)$ が $M\delta(m^2 - M^2)$ でなければならない。これはダイナミカルな質量生成を確認する。
• $\vartheta(x)$ の量子場理論は、観測量を $\mathcal{S}_0(\mathbb{R}^2)$ 上に定義することで、Wightmanの公理を満たし、標準的な $\mathcal{S}(\mathbb{R}^2)$ の定式化が赤外発散のために無効になるのを回避する。
• $\vartheta(x)$ の基底状態波動関数はカイラル対称性の下で不変ではなく、ゴールドストーンの基準を満たす。したがって、ゴールドストーンの基準およびウィッテンの基準の両方によって、$\vartheta(x)$ の量子がゴールドストーン粒子として明確に確認される。