[論文レビュー] Gradient Estimates and Ergodicity for SDEs Driven by Multiplicative Lévy Noises via Coupling

Mingjie Liang, Jian Wang|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、新しいカップリング手法を用いて、乗法的純ジャンプ・レヴィノイズによって駆動されるSDEの勾配推定とエルゴード性を確立する。本稿は、このようなSDEに対して初めて明示的なマルコフカップリングを導出し、ドリフトの局所ホルダー連続性の下で勾配推定を証明するとともに、発散的ドリフト条件の下で$L^1$-ウォッシャーライン距離および全 Variation 距離におけるエルゴード性を示す。

ABSTRACT

We consider SDEs driven by multiplicative pure jump Lévy noises, where Lévy processes are not necessarily comparable to $α$-stable-like processes. By assuming that the SDE has a unique solution, we obtain gradient estimates of the associated semigroup when the drift term is locally Hölder continuous, and we establish the ergodicity of the process both in the $L^1$-Wasserstein distance and the total variation, when the coefficients are dissipative for large distances. The proof is based on a new explicit Markov coupling for SDEs driven by multiplicative pure jump Lévy noises, which is derived for the first time in this paper.

研究の動機と目的

• ブラウン運動駆動SDEの勾配推定およびエルゴード性の結果を、乗法的純ジャンプ・レヴィ過程によって駆動されるSDEへと拡張すること。
• ブラウン運動が持つ加法的構造に欠けるため、長年の未解決問題であった、乗法的レヴィノイズによって駆動されるSDEのためのマルコフカップリングの構築を解決すること。
• ドリフトが局所ホルダー連続である場合に、関連する半群の勾配推定を証明すること。
• 発散的ドリフト条件の下で、$L^1$-ウォッシャーライン距離および全 Variation 距離におけるエルゴード性を確立すること。
• 非対称的かつ非$\alpha$-安定なレヴィ過程にも適用可能な枠組みを提供し、従来の結果の適用範囲を拡張すること。

提案手法

• 生成子の構造から直接導かれる、乗法的純ジャンプ・レヴィノイズによって駆動されるSDEのための新しい明示的マルコフカップリングを提案する。
• カップリング技術を用いて、遷移核$\delta_x P_t$と$\delta_y P_t$間のウォッシャーライン距離および全 Variation 距離を評価する。
• 不変確率測度が一階モーメントを有することを示すために、フォスター＝ライアプノフ型の条件を適用する。
• 生成子$L$をドリフト成分とジャンプ成分に分解し、$\sigma(x)$のヒルベルト＝シュミットノルムを用いてジャンプ積分を慎重に評価する。
• 非ガウス型かつ非加法的レヴィ設定に適応された、反射および平行移動のアナロジーに基づくカップリング作用素を実装する。
• 拡散係数$\sigma(x)$の一様非退化性およびグローバルリプシッツ連続性、およびドリフト$b(x)$の大きな距離における発散性を仮定に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドリフトが局所ホルダー連続である場合に、乗法的レヴィノイズによって駆動されるSDEに対して勾配推定を確立することは可能か？
• RQ2 加法的分解が存在しないにもかかわらず、乗法的純ジャンプ・レヴィ過程によって駆動されるSDEのためのマルコフカップリングを構築することは可能か？
• RQ3 どのような条件下で、プロセスが$L^1$-ウォッシャーライン距離および全 Variation 距離の両方でエルゴード性を示すか？
• RQ4 エルゴード性の収束速度は、係数の正則性およびレヴィ測度の構造にどのように依存するか？
• RQ5 従来の文献で仮定されていたものより広い範囲に適用可能であり、非対称的かつ非$\alpha$-安定なレヴィ測度に対しても結果を拡張できるか？

主な発見

• 本稿は、乗法的純ジャンプ・レヴィノイズによって駆動されるSDEのための、初めての明示的マルコフカップリングを構築し、長年の未解決問題を解決した。
• ドリフト$b(x)$が局所ホルダー連続である場合に、半群の勾配推定が確立され、ホルダー指数および$\sigma(x)$のリプシッツ定数に明示的な依存関係が得られた。
• $L^1$-ウォッシャーライン距離におけるエルゴード性は、収束率$\|\delta_x P_t - \delta_y P_t\|_{W_1} \leq c e^{-\lambda t} |x-y|$（$\lambda > 0$）で指数的収束を示すと証明された。
• 全 Variation 距離におけるエルゴード性も指数的収束$\|\delta_x P_t - \delta_y P_t\|_{\text{Var}} \leq c_2(x) e^{-\lambda t}$を示して確立された。
• フォスター＝ライアプノフ条件およびドリフトの発散性の下で、不変確率測度が存在し、一意的かつ一階モーメントを有することが保証された。
• 非対称的かつ特異なレヴィ測度を含む一般のレヴィ測度に対しても結果が成り立ち、回転対称性や絶対連続性の仮定は、局所可積分性を超えて不要である。