[論文レビュー] Refined basic couplings and Wasserstein-type distances for SDEs with Lévy noises

Dejun Luo, Jian Wang|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 21被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、発散的ドリフトを有するLévyノイズ駆動SDEの半群について、$L^1$-Wasserstein距離および全 Variation 距離の指数的収束を確立する。Lévyジャンプ過程の精緻な基本カップリングを用いて、Lévy測度の弱い非退化性条件と局所線形・大域的二次的発散性を満たすドリフト条件の下で、明示的な収束速度を導出する。

ABSTRACT

We establish the exponential convergence with respect to the $L^1$-Wasserstein distance and the total variation for the semigroup corresponding to the stochastic differential equation (SDE) $$d X_t=d Z_t+b(X_t)\,d t,$$ where $(Z_t)_{t\ge0}$ is a pure jump Lévy process whose Lévy measure $ν$ fulfills $$ \inf_{x\in \R^d, |x|\le κ_0} [ν\wedge (δ_x \ast ν)]( \R^d)>0$$ for some constant $κ_0>0$, and the drift term $b$ satisfies that for any $x,y\in \R^d$, $$\langle b(x)-b(y),x-y angle\le \begin{cases} Φ_1(|x-y|)|x-y|,& |x-y|\le l_0; -K_2|x-y|^2,& |x-y|> l_0 \end{cases}$$ with some positive constants $K_2, l_0$ and positive measurable function $Φ_1$. The method is based on the refined basic coupling for Lévy jump processes. As a byproduct, we obtain sufficient conditions for the strong ergodicity of the process $(X_t)_{t\ge0}$.

研究の動機と目的

• Lévyノイズを有するSDEの半群について、$L^1$-Wasserstein距離および全 Variation 距離における指数的収束を確立すること。
• 非リプシッツ型ドリフトおよび一般Lévyノイズを有するジャンプ拡散過程へのカップリングに基づく手法の拡張。
• 解過程の強い混合性を保証する十分条件の特定。
• 従来の拡散過程におけるWasserstein収束結果を、拡散型の場合を超えてジャンプ拡散設定へ一般化すること。
• Lévy測度の局所的構造がカップリングおよび収束を保証する役割を分析すること。

提案手法

• 異なる初期値を有するSDEの2つの解をカップリングするため、Lévyジャンプ過程のための精緻な基本カップリングを導入する。
• ジャンプ分布の十分な局所的重なりを保証するため、条件 $\inf_{|x|\leq\kappa_0} [\nu \wedge (\delta_x * \nu)](\mathbb{R}^d) > 0$ を用いる。
• 大距離における発散性を保証するドリフト条件 $\langle b(x)-b(y),x-y\rangle \leq \Phi_1(|x-y|)|x-y| - K_2|x-y|^2$ を $|x-y| \geq l_0$ に対して適用する。
• モーメントおよびパスワイズカップリング推定を用いて、遷移核間のWasserstein距離および全 Variation 距離を制御する。
• カップリング時間およびカップリング時間のモーメント推定を用いて、指数的減衰率を導出する。
• Lévy密度の可積分性および滑らかさを活用し、小ジャンプ領域におけるカップリング誤差を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lévy測度およびドリフトに関するどのような条件下で、Lévyノイズを有するSDEの半群が $L^1$-Wasserstein距離において指数的収束を示すか？
• RQ2 精緻な基本カップリング技法は、非リプシッツ型ドリフトおよび一般Lévyノイズを有するSDEへ拡張可能か？
• RQ3 局所的非退化性条件 $\inf_{|x|\leq\kappa_0} [\nu \wedge (\delta_x * \nu)](\mathbb{R}^d) > 0$ がカップリングおよび収束を保証する役割は何か？
• RQ4 大距離におけるドリフトの発散的挙動は収束速度にどのように影響するか？
• RQ5 このジャンプ拡散フレームワークにおいて、解過程の強い混合性を保証する十分条件は何か？

主な発見

• 与えられたドリフトおよびLévy測度の条件下で、$\delta_x P_t$ と $\delta_y P_t$ 間の $L^1$-Wasserstein距離は指数的に速く減少する。
• 同じ分布間の全 Variation 距離についても、$L^1$-Wasserstein距離と同一の速度で指数的収束が成立する。
• 収束速度は定数 $K_2$ および $\kappa_0$、および $[\nu \wedge (\delta_x * \nu)](\mathbb{R}^d)$ の下界によって明示的に決定される。
• 精緻な基本カップリング構成により、カップリング時間の指数的モーメントが保証され、指数的収束の導出が可能となる。
• 本手法は非リプシッツ型ドリフトにも適用可能であり、可測関数 $\Phi_1$ を有する $\mathbf{B}(\Phi_1(r), K_2 r, l_0)$ を満たすものも含む。
• 結果として、過程 $(X_t)_{t \geq 0}$ の強い混合性が示され、初期条件に依存しない収束速度が得られる。