[論文レビュー] Graph Sparsification by Edge-Connectivity and Random Spanning Trees

Wai Shing Fung, Nicholas J. A. Harvey|arXiv (Cornell University)|May 3, 2010

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 30被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、すべてのカット値を (1±ε) 因子内に保つグラフスパースナイザーを構築する2つの新しい手法を提示する：(1) エッジの接続性に反比例するエッジサンプリング、および (2) エッジ重み付きのρ個のランダムなスパニングツリーの和集合。両手法とも、O(n log²n / ε²)本のエッジを持つスパースナイザーを達成し、接続性に基づくサンプリングに関する未解決の問題を解決するとともに、ランダムなスパニングツリーの使用をカットスパースナイゼーションに拡張する。

ABSTRACT

We present new approaches to constructing graph sparsifiers --- weighted subgraphs for which every cut has the same value as the original graph, up to a factor of $(1 \pm ε)$. Our first approach independently samples each edge $uv$ with probability inversely proportional to the edge-connectivity between $u$ and $v$. The fact that this approach produces a sparsifier resolves a question posed by Benczúr and Karger (2002). Concurrent work of Hariharan and Panigrahi also resolves this question. Our second approach constructs a sparsifier by forming the union of several uniformly random spanning trees. Both of our approaches produce sparsifiers with $O(n \log^2(n)/ε^2)$ edges. Our proofs are based on extensions of Karger's contraction algorithm, which may be of independent interest.

研究の動機と目的

• BenczúrとKargerが提起した未解決の問題、すなわち、エッジ接続性に基づくサンプリングがカットスパースナイザーをもたらすか否かを解明すること。
• 重み付きのランダムなスパニングツリーの和集合が、重みなしの部分グラフよりも優れたカットスパースナイザーを生成できるかを調査すること。
• 特にスパニングツリーのサンプリングを用いて、o(n log n)本のエッジを持つスパースナイザーを構築する代替手法を探索すること。

提案手法

• エッジ接続性 (k_e) に反比例する確率でエッジをサンプリングし、高確率でカット近似が保証される。
• 各エッジの有効コンダクタンスで重み付けされた一様ランダムなスパニングツリー ρ 個の和集合としてスパースナイザーを構築する。
• 負の関連性に基づく集中不等式（定理4.2および推論4.3）を用いて、ランダムなスパニングツリーにおけるエッジ数の乖離を分析する。
• Kargerの収縮アルゴリズムの拡張を適用して、正しさとエッジ数の上限を証明する。
• 高確率での (1±ε) カット近似を保証するために、ρ = d log²n（d = O(1/ε²)）を設定する。
• 有効コンダクタンスとエッジ接続性をサンプリングパラメータとして用い、既知のランダムなスパニングツリーおよびコンダクタンスに関する結果を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エッジ強度の代わりにエッジ接続性に基づいてエッジをサンプリングすることで、(1±ε) カットスパースナイザーが得られるか？
• RQ2 重み付きのランダムなスパニングツリーの和集合が、(1±ε) カットスパースナイザーとして機能するか？
• RQ3 ランダムなスパニングツリーのサンプリングを用いて、o(n log n)本のエッジを持つスパースナイザーを構築することは可能か？
• RQ4 (1±ε) カット近似を達成するために必要な最小のランダムなスパニングツリーの数は何か？
• RQ5 接続性に基づくサンプリングと有効コンダクタンスに基づくサンプリングの性能を比較すると、どちらが優れているか？

主な発見

• エッジ接続性に基づく提案されたエッジサンプリング法は、高確率で (1±ε) カットスパースナイザーを生成し、BenczúrとKarger（2002年）が提起した未解決の問題を解決する。
• 有効コンダクタンスで重み付けされた一様ランダムなスパニングツリー ρ = O(log²n / ε²) 個の和集合は、高確率で (1±ε) カットスパースナイザーを生成する。
• ランダムなスパニングツリーを用いて構築されたスパースナイザーは O(n log²n / ε²) 本のエッジを持つが、これはスペクトルスパースナイザーおよびカットスパースナイザーにおける既知の最良の境界と一致する。
• 下界の結果から、定数確率近似を得るには Ω(log n / log k) 個のツリーが必要であることが示され、これより少ない数のツリーでは重要なカットを捉えられない可能性がある。
• 分析により、コンダクタンスに基づく重み付けを施したランダムなスパニングツリーのサンプリングが、有効コンダクタンスに基づくサンプリングと同等にカット値を保持できることを示し、本手法の有効性を裏付けた。