[論文レビュー] Graphical Presentations of Symmetric Monoidal Closed Theories

Richard Garner, Tom Hirschowitz+1 more|ArXiv.org|Oct 24, 2008

Logic, programming, and type systems参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Hughes (2005) の枠組みに基づく証明ネットを用いて、対称的モノイダル閉（smc）理論のための図式的記法を導入する。この枠組みは、正しさの基準とリワイヤリング同値を用いて、方程式理論へと拡張されている。主な貢献は、ある種の図式的ネットの圏と、記号から生成される自由 smc 圏との間の同型を確立することであり、方程式を含む smc 理論の完全な図式的表現を提供する。

ABSTRACT

We define a notion of symmetric monoidal closed (SMC) theory, consisting of a SMC signature augmented with equations, and describe the classifying categories of such theories in terms of proof nets.

研究の動機と目的

• 対称的モノイダル閉（smc）理論を、代数的理論をモノイダル閉構造へ一般化する形で、記号に方程式を追加したものとして定義すること。
• このような理論によって生成される自由 smc 圏の図式的で証明ネットに基づく表現を提供することにより、視覚的かつ組合的に推論可能にする。
• Hughes (2005) の証明ネット枠組み（元来、種類の集合上の自由 smc 圏を対象としていた）を、正しさとリワイヤリングを用いて、方程式理論に対応させるように拡張すること。
• 図式的ネットの圏と smc 理論の分類圏との間の圏的同型を確立することにより、完全忠実性と完全妥当性を保証すること。

提案手法

• 種類の集合 $X$ と、$X$ 上の自由 smc 圏における項のグラフからなる smc 記号を定義する。操作には $\otimes$、$\multimap$、$I$ および構造的同型 $\alpha_{abc}$、$\lambda_a$、$\rho_a$、$\sigma_{ab}$、$\epsilon_{ab}$、$\eta_{ab}$ が含まれる。
• 合成、恒等射、および $\alpha_{abc}$、$\lambda_a$、$\rho_a$、$\sigma_{ab}$、$\epsilon_{ab}$、$\eta_{ab}$ などの構造的同型の下での閉包を用いて、導出項を構成する。
• 射をプレネットとして表現する：サポート $C$ と、各種類 $x \in X$ のポートに対して単射である部分的接続関数 $g$ を持つ有向グラフ $G$ であり、サポートの同型を除いて定義される。
• プレネットの正しさを、関連する古典的 MLL 公式のすべてのスイッチングが木構造をなすという条件により定義する。これは、Danos と Regnier の基準を一般化したものである。
• リワイヤリング同値を導入する：あるエッジの端点が $I$ の負の出現に接続されている場合、そのエッジのターゲットを変更することで、1つのネットから別のネットに変換可能であり、正しさが保たれる。
• リワイヤリングされたネットを同定することで得られる商圏 $\mathcal{D}_{X,\Sigma}$ が、与えられた smc 記号 $(X,\Sigma)$ から生成される自由 smc 圏 $\mathcal{C}_{X,\Sigma}$ と同型であることを証明する。これにより、図式的記法が妥当かつ完全な表現であることが立証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称的モノイダル閉理論は、代数的理論の概念をモノイダル閉構造へ一般化することで、記号に方程式を追加したものとしてどのように形式的に定義できるか？
• RQ2 Hughes の証明ネット枠組みは、自由な場合に限らず、方程式理論によって生成される自由 smc 圏を扱えるように拡張可能か？
• RQ3 どの図式的正しさ基準が、ネットが自由 smc 圏における有効な射を表していることを保証するか？
• RQ4 図式的表現同士の同値性はどのように捉えられ、カテゴリカル構造を保ったまま表現可能か？リワイヤリングの役割は何か？
• RQ5 リワイヤリングを法とする図式的ネットの圏は、smc 理論の分類圏と同型か？

主な発見

• リワイヤリングを法とする図式的ネットの圏 $\mathcal{D}_{X,\Sigma}$ は、与えられた smc 記号 $(X,\Sigma)$ から生成される自由対称的モノイダル閉圏 $\mathcal{C}_{X,\Sigma}$ と同型であり、完全な図式的記法が確立される。
• ネットの正しさは、関連する古典的 MLL 公式のすべてのスイッチングが木構造をなすという条件により定義され、これは Danos と Regnier の基準を方程式的設定へ一般化したものである。
• リワイヤリング同値は正しさを保ち、ネット上のwell-definedな同値関係を定義する。これにより、構造が同じである自由 smc 圏を捉える商圏が構成可能である。
• この構成により、自由 smc 圏における射の忠実かつ全的な図式的表現が得られ、合成は共有されるポートに沿ったグラフの接合によって定義される。
• この枠組みは、サポートに基づくネットを用いて一般ケースを自由ケースに還元することで、Hughes (2005) の証明ネット表現を、方程式理論に対応させる形で拡張する。
• この結果は、Trimble のリワイヤリングと Kelly-MacLane のグラフ構成を一般化し、方程式を含む smc 理論のための統一的枠組みに統合する。