[論文レビュー] Greedy Online Bipartite Matching on Random Graphs

Andrew Mastin, Patrick Jaillet|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2013

Optimization and Search Problems参考文献 19被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、Erdős–Rényi のランダムグラフ $G(n,n,p)$ における、グリーディなオンライン二部マッチングアルゴリズムの平均ケース性能を、微分方程式を用いてマッチングダイナミクスをモデル化することで分析する。グリーディアルゴリズムの性能比は少なくとも $0.837$、無知的（oblivious）な変種では $1-1/e$ であることが確立されており、ランダムな設定下でグリーディ手法が最適なランク付けアルゴリズムとほぼ同等にマッチングできることを示している。

ABSTRACT

We study the average performance of online greedy matching algorithms on $G(n,n,p)$, the random bipartite graph with $n$ vertices on each side and edges occurring independently with probability $p=p(n)$. In the online model, vertices on one side of the graph are given up front while vertices on the other side arrive sequentially; when a vertex arrives its edges are revealed and it must be immediately matched or dropped. We begin by analyzing the extsc{oblivious} algorithm, which tries to match each arriving vertex to a random neighbor, even if the neighbor has already been matched. The algorithm is shown to have a performance ratio of at least $1-1/e$ for all monotonic functions $p(n)$, where the performance ratio is defined asymptotically as the ratio of the expected matching size given by the algorithm to the expected maximum matching size. Next we show that the conventional extsc{greedy} algorithm, which assigns each vertex to a random unmatched neighbor, has a performance ratio of at least 0.837 for all monotonic functions $p(n)$. Under the $G(n,n,p)$ model, the performance of extsc{greedy} is equivalent to the performance of the well known extsc{ranking} algorithm, so our results show that extsc{ranking} has a performance ratio of at least 0.837. We finally consider vertex-weighted bipartite matching. Our proofs are based on simple differential equations that describe the evolution of the matching process.

研究の動機と目的

• ランダムな二部グラフ $G(n,n,p)$ におけるオンライングリーディマッチングアルゴリズムの平均ケース性能を分析すること。
• すべての単調な $p(n)$ に対して、グリーディおよび無知的アルゴリズムの性能比に対するタイトな下界を確立すること。
• グリーディアルゴリズムの性能が、$G(n,n,p)$ モデル下で、よく知られたランク付けアルゴリズムと漸近的に同等であることを示すこと。
• 重み付きグリーディマッチングを含む頂点重み付き二部マッチングへの分析を拡張すること。
• 微分方程式と Wormald の定理を用いて、マッチングプロセスの進化を厳密にモデル化および束縛すること。

提案手法

• 頂点が逐次的に到着し、到着時に辺が公開されるという確率的プロセスとしてマッチングプロセスをモデル化する。
• マッチング済みの箱（バケツ）の数の期待値の時間的変化を、$n$ で正規化して記述するための微分方程式を用いる。
• Wormald の定理を適用して、$n \to \infty$ の極限において、決定的微分方程式の解が確率的プロセスをよく近似することを示す。
• 時間経過に伴う各ランクまたは重みクラスに属する箱のマッチング確率を記述する常微分方程式系（ODE）を導出する。
• 無知的およびグリーディな場合の ODE 系を明示的に解き、マッチングサイズの閉形式表現を導出する。
• ランクベースまたは重みベースの箱クラスを導入することで、頂点重み付きマッチングへのフレームワークの拡張を行い、対応する ODE 系を解く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $G(n,n,p)$ における単調な $p(n)$ の下で、無知的グリーディアルゴリズムの漸近的性能比は何か？
• RQ2 従来のグリーディアルゴリズムの性能は、ランダムな二部グラフにおける最適な最大マッチングと比べてどうか？
• RQ3 $G(n,n,p)$ モデル下で、グリーディアルゴリズムの性能はランク付けアルゴリズムと同等か？
• RQ4 頂点重み付き二部マッチングの設定下で、グリーディマッチングの性能比は何か？
• RQ5 特に $p(n) \sim 1/n$ の近傍において、グリーディアルゴリズムの性能比は $p(n)$ にどのように依存するか？

主な発見

• 無知的アルゴリズムは、すべての単調な $p(n)$ に対して、少なくとも $1 - 1/e$ の性能比を達成し、ランク付けアルゴリズムの最悪ケース保証と一致する。
• 従来のグリーディアルゴリズムは、すべての単調な $p(n)$ に対して、少なくとも $0.837$ の性能比を達成しており、最悪ケースの $1/2$ の境界を大幅に上回る。
• $G(n,n,p)$ モデル下では、グリーディアルゴリズムとランク付けアルゴリズムの性能が漸近的に同等であることが示され、グリーディ手法が期待値で最大マッチングサイズの少なくとも $0.837$ を達成できることを示している。
• 頂点重み付き二部マッチングでは、漸近的マッチングサイズについて、$\frac{\mu^{r}_{\mathrm{W}}(n,n,c/n)}{n} = g_r - \frac{1}{c}\log\left(\frac{1+e^{-c\tau}(e^{c\sum_{k=1}^{r}g_k}-1)}{1+e^{-c\tau}(e^{c\sum_{k=1}^{r-1}g_k}-1)}\right) + o(1)$ という閉形式の式が導出された。
• グリーディ手法の性能比は、$p(n) \sim 1/n$ で最小化され、ここから高性能な状態から最悪ケースの振る舞いへの遷移が起こるため、臨界的相転移が存在することが示唆される。