[論文レビュー] Gromov-Hausdorff Distance for Quantum Metric Spaces

Marc A. Rieffel|ArXiv.org|Nov 9, 2000

Advanced Operator Algebra Research参考文献 54被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、C*-代数または順序単位空間上のリプシッツ半ノルムを用いて定義されるコンパクトな量子距離空間のための、グロモフ–ハウスドルフ距離の量子版を導入する。量子トーラス $A_{\theta_n}$ が $\theta_n \to \theta$ のとき $A_\theta$ に量子グロモフ–ハウスドルフ距離で収束することを確立し、非可換幾何学における古典的距離収束の一般化を達成する。

ABSTRACT

By a quantum metric space we mean a C^*-algebra (or more generally an order-unit space) equipped with a generalization of the Lipschitz seminorm on functions which is defined by an ordinary metric. We develop for compact quantum metric spaces a version of Gromov-Hausdorff distance. We show that the basic theorems of the classical theory have natural quantum analogues. Our main example involves the quantum tori, $A_þ$. We show, for consistently defined ``metrics'', that if a sequence $\{þ_n\}$ of parameters converges to a parameter $þ$, then the sequence $\{A_{þ_n}\}$ of quantum tori converges in quantum Gromov-Hausdorff distance to $A_þ$.

研究の動機と目的

• 非可換距離空間のためのグロモフ–ハウスドルフ距離の量子版を構築すること。
• C*-代数上のリプシッツ半ノルムによって定義される量子距離空間の設定において、古典的距離収束を一般化すること。
• 量子トーラス $A_{\theta_n}$ が $\theta_n \to \theta$ のとき、量子グロモフ–ハウスドルフ距離で $A_\theta$ に収束することを確立すること。
• 量子グロモフ–ハウスドルフ距離が、距離幾何学における古典的定理の類似を満たすことを示すこと。

提案手法

• ユニタリC*-代数または順序単位空間に、状態空間にカントロビッチ距離を誘導する下半連続なリプシッツ半ノルム $L$ を備えたものを、量子距離空間と定義する。
• 量子グロモフ–ハウスドルフ距離 $\mathop{\mathrm{dist}}\nolimits_q(A,C)$ を、状態空間に $L$ が誘導する距離を備えたものについて、すべてのカップリングの下でのハウスドルフ距離の下界として定義する。
• 公式 $L(a) = \sup\{ |\mu(a) - \nu(a)| / \rho_L(\mu,\nu) : \mu \neq \nu \}$ を用いて、状態空間 $S(A)$ 上の距離 $\rho_L$ から $L$ を回復する。
• 空間 $Y = S(A) \times S(A) \setminus \Delta$ 上の $L^2(Y, m \times m)$ に、$a \in A$ に対して $\|[D,a]\| = L(a)$ を満たすディラック作用素 $D$ を構成する。
• 量子グロモフ–ハウスドルフ距離が三角不等式および等長同型不変性を満たし、古典的性質を一般化することを証明する。
• リプシッツノルムの商構成と距離 $\rho_L$ の凸性を用いて、状態空間部分集合間のハウスドルフ距離による量子距離の上界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換（量子）距離空間にグロモフ–ハウスドルフ距離の概念を拡張できるか？
• RQ2 量子グロモフ–ハウスドルフ距離は可換極限において古典的収束を回復するか？
• RQ3 量子トーラス $A_{\theta_n}$ は $\theta_n \to \theta$ のとき、量子グロモフ–ハウスドルフ距離で $A_\theta$ に収束するか？
• RQ4 順序単位空間上での任意の下半連続リプシッツ半ノルムは、ディラック作用素によって実現可能か？

主な発見

• 量子グロモフ–ハウスドルフ距離 $\mathop{\mathrm{dist}}\nolimits_q(A,C)$ は三角不等式を満たし、量子距離空間の等長同型写像に関して不変である。
• 量子トーラス $A_\theta$ に対して、$\theta_n \to \theta$ ならば、$\{A_{\theta_n}\}$ は量子グロモフ–ハウスドルフ距離で $A_\theta$ に収束する。
• $C(Y)$ と $C(Z)$ 間の量子グロモフ–ハウスドルフ距離は、$Y$ が三角形で $Z$ が線分の場合、正確に $1/2$ である。これはハウスドルフ距離の上界評価と直径比較によって示される。
• 状態空間 $S(A)$ 上の距離 $\rho_L$ は、リプシッツ半ノルム $L$ から $L(a) = \sup\{ |\mu(a) - \nu(a)| / \rho_L(\mu,\nu) \}$ を用いて回復できる。
• 順序単位空間上での任意の下半連続リプシッツ半ノルム $L$ は、ヒルベルト空間上の自己共役非有界作用素 $D$ を用いて $L(a) = \|[D,a]\|$ として実現可能であり、ディラック作用素が量子距離の普遍的表現であることを示す。
• $C(Y)$ と $C(Z)$ 間の量子グロモフ–ハウスドルフ距離は、ハウスドルフ距離 $\mathop{\mathrm{dist}}\nolimits_H^{\rho_L}(S(A), K_1)$ によって上から抑えられ、その値は最大で $1/2$ であり、直径比較によって等号が成立する。