[論文レビュー] Gromov-Witten invariants of stable maps with fields

Huai-Liang Chang, Jun Li|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{P}^4$ への安定写像にフィールドを加えたものに対して、Kiem-Liの余次元局在化を用いてGromov-Witten不変量を構成し、それが五次的Calabi-Yau三様のGromov-Witten不変量と符号を除いて一致することを証明する。この構成はGuffin-Sharpe-Wittenモデルの数学的実現を提供し、Gromov-Witten理論とLandau-Ginzburgモデルを結ぶ全種数ミラー対称性プログラムの枠組みを提示する。

ABSTRACT

We construct the Gromov-Witten invariants of moduli of stable morphisms to $\Pf$ with fields. This is the all genus mathematical theory of the Guffin-Sharpe-Witten model, and is a modified twisted Gromov-Witten invariants of $\Pf$. These invariants are constructed using the cosection localization of Kiem-Li, an algebro-geometric analogue of Witten's perturbed equations in Landau-Ginzburg theory. We prove that these invariants coincide, up to sign, with the Gromov-Witten invariants of quintics.

研究の動機と目的

• Guffin-Sharpe-Wittenモデルの数学的枠組みを構築すること。これは、$K_{\mathbb{P}^4}$ を標的空間とし、超ポテンシャル$\mathbf{w}$ を持つトポロジカルLandau-Ginzburg理論である。
• Gromov-Witten不変量の超平面性質を、種数0および1を超えて全種数へと拡張すること。
• 安定写像にフィールドを加えた非特異的モジュライ空間における局在化された仮想サイクルの幾何的構成を提供すること。
• WittenのGauged-Linear-Sigmaモデルプログラムを通じて、五次的三様のGromov-Witten理論とLandau-Ginzburgモデルを結ぶ橋渡しをすること。
• $K_{\mathbb{P}^4}$ 上の質量のある理論と線形Landau-Ginzburgモデル$[\mathbb{C}^5/\mathbb{Z}_5]$ を関連付けることで、全種数ミラー対称性への新しいアプローチを提供すること。

提案手法

• 安定写像に$p$-フィールドを加えたモジュライ空間$\overline{\mathcal{M}}_g(\mathbb{P}^4,d)^p$ を導入する。ここで$p$-フィールドとは、$u^*\mathcal{O}_{\mathbb{P}^4}(-5) \otimes \omega_C$ のセクションを意味する。
• このモジュライ空間に完全な障害理論を備え、次数5の多項式$\mathbf{w}$（例えば$x_1^5 + \cdots + x_5^5$）を用いて障害層への余次元写像$\sigma$ を構成する。
• Kiem-Liの余次元局在化を適用し、$\overline{\mathcal{M}}_g(Q,d)$ に値をとる局在化された仮想サイクル$[\overline{\mathcal{M}}_g(\mathbb{P}^4,d)^p]^{\mathrm{vir}}_\sigma$ を定義する。ここで$Q$は五次的三様である。
• Gromov-Witten不変量をこの局在化された仮想サイクルの次数として定義する：$N_g(d)^p_{\mathbb{P}^4} = \deg[\overline{\mathcal{M}}_g(\mathbb{P}^4,d)^p]^{\mathrm{vir}}_\sigma$。
• 退化技術を用いて、これらの不変量が符号因子$(-1)^{5d+1-g}$ を除いて、五次的$Q$の標準的なGromov-Witten不変量と一致することを証明する。
• この構成をWittenのGauged-Linear-Sigmaモデルに関連付け、$K_{\mathbb{P}^4}$ 上の質量のある理論が線形Landau-Ginzburgモデル$[\mathbb{C}^5/\mathbb{Z}_5]$ と双対的であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数幾何的手法を用いて、Guffin-Sharpe-WittenモデルのGromov-Witten不変量の数学的構成は可能か？
• RQ2 余次元局在化技術は、安定写像にフィールドを加えた非特異的モジュライ空間上でも、well-definedな不変量を生じるか？
• RQ3 超ポテンシャル$\mathbf{w}$ を持つ$K_{\mathbb{P}^4}$-理論の不変量は、五次的三様$Q$ のGromov-Witten不変量と関連づけられるか？
• RQ4 修正されたねじれGromov-Witten理論を用いて、超平面性質を全種数へ一般化できるか？
• RQ5 この枠組みは、Gromov-Witten理論とLandau-Ginzburgモデルの間の全種数ミラー対称性プログラムの基盤として機能できるか？

主な発見

• 種数$g > 0$ の場合でも、モジュライ空間$\overline{\mathcal{M}}_g(\mathbb{P}^4,d)^p$ が非特異的であるにもかかわらず、Kiem-Liの余次元局在化によりGromov-Witten不変量がwell-definedであることが示された。
• 局在化された仮想サイクル$[\overline{\mathcal{M}}_g(\mathbb{P}^4,d)^p]^{\mathrm{vir}}_\sigma$ は、$\mathbf{w} = 0$ で定義される五次的三様$Q$ に対応するproperな部分スタック$\overline{\mathcal{M}}_g(Q,d)$ に値をとる。
• 不変量$N_g(d)^p_{\mathbb{P}^4}$ は、この局在化された仮想サイクルの次数として定義され、符号を除いて五次的$Q$ の標準的なGromov-Witten不変量$N_g(d)_Q$ と一致することが示された：$N_g(d)^p_{\mathbb{P}^4} = (-1)^{5d+1-g} N_g(d)_Q$。
• この結果は、Kontsevichの種数0の公式を一般化し、高種数における超平面性質の代替を提供し、全種数不変量の統一的アプローチを可能にする。
• この構成は、WittenのGauged-Linear-Sigmaモデルの数学的構造を実現し、$K_{\mathbb{P}^4}$ 上の質量のある理論と線形Landau-Ginzburgモデル$[\mathbb{C}^5/\mathbb{Z}_5]$ を結ぶ。これにより、全種数ミラー対称性への道筋が示唆される。
• この方法は、GuffinとSharpeの種数0における経路積分計算の幾何的実現を、任意の種数へと拡張する新しいアプローチを提供する。