[論文レビュー] Grothendieck's Homotopy Hypothesis

Ilias Amrani|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、単体的位相的圏（sCat_Top）の圏に、cofibrantly generatedで、left properかつcellularなモデル構造を確立し、すべての射がホモトピー同値であるような位相的圏としての∞-群コホモロジーが単体的集合とQuillen同値であることを証明する。この同値性により、Grothendieckのホモトピー仮説—すなわち、∞-群コホモロジーがすべてのホモトピー型を表現可能である—が裏付けられる。

ABSTRACT

We construct a "diagonal" cofibrantly generated model structre on the category of simplicial objects in the category of topological categories sCat_{Top}, which is the category of diagrams [Δ^{op}, Cat_{Top}]. Moreover, we prove that the diagonal model structures is left proper and cellular. We also prove that the category of \infty-groupoids (the full subcategory of topological categories) has a cofibrantly generated model structure and is Quillen equivalent to the model category of simplicial sets, which proves the Grothendieck's homotopy hypothesis.

研究の動機と目的

• 単体的位相的圏（sCat_Top）の圏に、cofibrantly generatedで、left properかつcellularなモデル構造を構成すること。
• 弱同値がcoherent nerveと∞-群コホモロジーの実現を通じてホモトピー型を検出するように、対角モデル構造を定義・特徴づけること。
• Cat_Topにおける∞-群コホモロジーの全部分圏が、Dwyer-Kan同値を弱同値とするcofibrantly generatedモデル構造を備えることを証明すること。
• ∞-群コホモロジーの圏と単体的集合の圏の間のQuillen同値性を確立し、Grothendieckのホモトピー仮説を証明すること。
• フレームワークをn-群コホモロジーへ拡張し、ホモトピー圏においてn型がn-群コホモロジーと同値であることを示すこと。

提案手法

• coherent nerveと実現関手を介して弱同値およびファイブレーションを引き上げることにより、sCat_Topに対角モデル構造を構成する。
• Kanと擬代数的圏のモデル構造を結びつける左Quillen関手 $k^!$ を用い、ホモトピー型が保存されることを保証する。
• 持ち上げ性質と小さな対象の方法を用いて、対角モデル構造のleft propernessおよびcellularityを証明する。
• 位相的圏のcoreのDwyer-Kan局在化として関連する∞-群コホモロジーを定義し、そのcoherent nerveがホモトピー型を回復することを示す。
• 関手 $\Theta: \mathbf{sSet} \to \mathbf{Cat}_{\mathbf{Top}}$ と $\Psi: \mathbf{Cat}_{\mathbf{Top}} \to \mathbf{sSet}$ を介して、∞-群コホモロジーと単体的集合の間のQuillen随伴を確立し、それがQuillen同値であることを証明する。
• 関手 $k^! \widetilde{N}_\bullet \mathrm{sing} \mathbf{C} \to \widetilde{N}_\bullet \mathrm{sing} \mathbf{C}$ が自明なファイブレーションであることを用いて、随伴がホモトピー圏上に同値を誘導することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単体的位相的圏の圏に、cofibrantly generatedで、left properかつcellularなモデル構造を定義できるか？
• RQ2 sCat_Topにおける対角モデル構造は、単体的集合の標準的モデル構造とQuillen同値か？
• RQ3 Cat_Topにおける∞-群コホモロジーの圏は、弱同値がDwyer-Kan同値であるようなモデル構造を備えているか？
• RQ4 ∞-群コホモロジーと単体的集合の間の随伴がQuillen同値であるか。これによりGrothendieckのホモトピー仮説が証明されるか？
• RQ5 n型のホモトピー理論は、n-群コホモロジーのホモトピー理論から回復可能か？

主な発見

• 単体的位相的圏（sCat_Top）の圏に、cofibrantly generatedで、left properかつcellularなモデル構造が存在する。これを対角モデル構造と呼ぶ。
• 対角モデル構造では、写像 $\mathbf{A}_\bullet \to \mathbf{B}_\bullet$ が弱同値であることと、$\mathrm{diag}~{}\widetilde{N}_\bullet \mathbf{A}_\bullet' \to \mathrm{diag}~{}\widetilde{N}_\bullet \mathbf{B}_\bullet'$ が単体的集合において弱同値であることとが同値である。
• すべての射がホモトピー同値であるような位相的圏としての∞-群コホモロジーの圏は、Dwyer-Kan同値を弱同値とするcofibrantly generatedモデル構造を備える。
• 関手 $\Theta$ と $\Psi $ を介して誘導される∞-群コホモロジーと単体的集合の間の随伴はQuillen同値であり、Grothendieckのホモトピー仮説が証明される。
• n型のホモトピー圏はn-群コホモロジーのホモトピー圏と同値であり、ホモトピー仮説がn-群コホモロジーへ一般化される。
• sCat_Topにおける対角モデル構造は、単体的∞-群コホモロジーの圏に制限され、これもQuillen同値であり、left properかつcellularである。