[論文レビュー] Ground state solutions for the nonlinear fractional Schrodinger-Poisson system

Kaimin Teng|arXiv (Cornell University)|May 22, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 17被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、$s \in \left(\frac{3}{4}, 1\right)$ および $2 < p < \frac{3+2s}{3-2s}$ の条件下で、$\mathbb{R}^3$ 上の非線形分数マクスウェル・シュレーディンガー系に非自明な基底状態解の存在を確立する。ポテンシャル $V(x)$ に適切な条件を課すと、証明は単調性の技法とグローバルコンパクトネス補題に依存する。また、$1 < p \leq 2$ および $p = \frac{3+2s}{3-2s}-1$ の場合の非存在結果も示している。

ABSTRACT

In this paper, we study the existence of ground state solutions for the nonlinear fractional Schrödinger-Poisson system \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{ll} (-Δ)^su+V(x)u+ϕu=|u|^{p-1}u, &amp; \hbox{in $\mathbb{R}^3$,} (-Δ)^sϕ=u^2,&amp; \hbox{in $\mathbb{R}^3$,} \end{array} ight. \end{equation*} where $2

研究の動機と目的

• 非局所的分数マクスウェル・シュレーディンガー系に対する基底状態解に関する結果の不足を解決する。
• 正則性、有界性、および強制型条件を含むポテンシャル $V(x)$ に対する特定の仮定の下で、非自明な基底状態解の存在を確立する。
• 指数範囲全体における解の挙動を完成させるために、$1 < p \leq 2$ および $p = 2_s^* - 1$ の場合の補足的な非存在結果を提供する。
• 標準的な切り捨ておよび減衰技術が、異なる核の性質により失敗する非局所的分数設定に、変分法を拡張する。
• 分数量子力学および非局所PDEの数学的理論に貢献し、鋭い指数およびポテンシャル条件の下での存在性を証明する。

提案手法

• 問題は、適切な関数空間上で関連する作用汎関数を最小化することで変分法によって研究される。
• 分数ラプラシアンのソボレフ埋め込みにおけるコンパクトネスの欠如を扱うために、単調性の技法が用いられる。
• エネルギー空間におけるパライス・スマールの列の逐次コンパクトネスを回復するために、グローバルコンパクトネス補題が適用される。
• 分数ラプラシアン $(-\Delta)^s$ はフーリエ変換を用いて定義される：$(-\Delta)^s u = \mathcal{F}^{-1}(|\xi|^{2s} \mathcal{F}u)$。
• 部分積分およびフーリエ領域におけるプランシュレルの定理を用いて、エネルギー推定およびポホジャエフ型恒等式が導かれる。
• 非存在結果は、エネルギー恒等式および $(V_1)$ と $(V_2)$ の下で $2sV(x) + (x, \nabla V(x))$ の非負性を用いて証明される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形分数マクスウェル・シュレーディンガー系に、$2 < p < \frac{3+2s}{3-2s}$ および $s \in \left(\frac{3}{4}, 1\right)$ のとき非自明な基底状態解が存在するか？
• RQ2 ポテンシャル $V(x)$ にどのような条件を課すと、このような基底状態解の存在が保証されるか？
• RQ3 特に臨界指数付近または $p=2$ 未満のとき、非自明な解が存在しない場合があるか？
• RQ4 分数ラプラシアンの非局所的性質は、局所的場合と比較して、解の存在性および減衰性にどのように影響を与えるか？
• RQ5 ポホジャエフ恒等式は、分数設定に適応可能か？極値指数における非存在結果を導くために。

主な発見

• 仮定 $(V_1)$, $(V_2)$, $(V_3)$ の下で、$2 < p < \frac{3+2s}{3-2s}$ および $s \in \left(\frac{3}{4}, 1\right)$ のとき、非線形分数マクスウェル・シュレーディンガー系に非自明な基底状態解 $(u, \phi)$ が存在する。
• $1 < p \leq 2$ の場合、エネルギー恒等式と $t \geq 0$ における $t^2 + t^3 - t^{p+1}$ の非負性を用いて、非自明な解の非存在が証明される。
• $p = \frac{3+2s}{3-2s} - 1$ の場合、ポホジャエフ恒等式を用いて非存在が示され、$\int_{\mathbb{R}^3} (2sV(x) + (x, \nabla V(x))) u^2 \, dx = 0$ および $\int_{\mathbb{R}^3} \phi u^2 \, dx = 0$ ならば $u = \phi = 0$ であることが示される。
• コンパクトネスの欠如を克服するため、単調性の技法を用いた変分的アプローチにより基底状態解が得られる。
• エネルギー推定およびプランシュレルの定理を用いて、$\|(-\Delta)^{s/2} u\|_{L^2}^2$, $\|(-\Delta)^{s/2} \phi\|_{L^2}^2$, および $\int \phi u^2 \, dx$ を含む恒等式が導かれる。
• ポテンシャル $V(x)$ は、$2sV(x) + (x, \nabla V(x)) \geq 0$ および $V(x) \leq V_\infty$ を満たし、正の測度の集合上で厳密に不等号が成り立つことが、基底状態の存在を保証する。