[論文レビュー] Group actions on stacks and applications to equivariant string topology for stacks

Rafael J. L. Morcillo, Behrang Noohi|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 29被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、向き付け可能な微分的スタック ${\mathfrak{X}}$ の自由ループスタック $\mathrm{L}{\mathfrak{X}}$ の $S^1$-同変ホモロジーに、Chas-Sullivan のストリングブラケットをスタックへ一般化した階数付きリーヒューリング構造を確立する。この構成は、転送写像と商スタックの技法を用いて行われ、$H^{S^1}_{*+\dim{\mathfrak{X}}-2}(\mathrm{L}{\mathfrak{X}})$ が階数付きリーヒューリングをなすことが証明され、2次元オーロラフォールドに対して明示的なゴールドマン型ブラケットが得られる。

ABSTRACT

This paper is a continuations of the project initiated in the book string topology for stacks. We construct string operations on the SO(2)-equivariant homology of the (free) loop space $L(X)$ of an oriented differentiable stack $X$ and show that $H^{SO(2)}_{*+dim(X) -2}(L(X))$ is a graded Lie algebra. In the particular case where $X$ is a 2-dimensional orbifold we give a Goldman-type description for the string bracket. To prove these results, we develop a machinery of (weak) group actions on topological stacks which should be of independent interest. We explicitly construct the quotient stack of a group acting on a stack and show that it is a topological stack. Then use its homotopy type to define equivariant (co)homology for stacks, transfer maps, and so on.

研究の動機と目的

• Chas-Sullivan のストリングトポロジー構成を、特に自由ループスタック $\mathrm{L}{\mathfrak{X}}$ 上での $S^1$-同変ストリングブラケットの定義を通じて、微分的スタックへ拡張すること。
• 主な応用とは独立して、位相的スタックにおける群作用と商の一般理論を構築し、同変トポロジー分野への広範な適用可能性を高めること。
• 2次元オーロラフォールドのストリングブラケットの幾何的実現を提供し、非多様体スタックへの古典的ゴールドマンブラケットの一般化を達成すること。
• 商スタックのホモトピー型を用いてスタックの同変（コ）ホモロジーを定義し、転送写像やギジン系列の利用を可能にすること。

提案手法

• 群 $G$ がスタック ${\mathfrak{X}}$ に作用する場合に、商スタック $[G\backslash{\mathfrak{X}}]$ を構成し、${\mathfrak{X}}$ が幾何的であるとき、それが位相的スタックであり、幾何的であることを示す。
• 写像スタックの分類空間を用いて、スタックの同変ホモロジーを、商スタック $[S^1\backslash\mathrm{L}{\mathfrak{X}}]$ のホモトピー型によって定義する。
• 射 $q: \mathrm{L}{\mathfrak{X}} \to [S^1\backslash\mathrm{L}{\mathfrak{X}}]$ を用いて、転送写像 $T: H^{S^1}_*(\mathrm{L}{\mathfrak{X}})[2-d] \to H_*(\mathrm{L}{\mathfrak{X}})[1-d]$ を導入する。
• Pontryagin積 $\star$ を用いて、ブラケットを $\{x,y\} := (-1)^{|x|} q(T(x) \star T(y))$ として定義し、それがシフトされた同変ホモロジーに階数付きリーヒューリング構造を導くことを証明する。
• 2次元オーロラフォールドにこの枠組みを適用する際、商スタック $[S^1\backslash\mathrm{L}{\mathfrak{X}}]$ の基本群が底面の内部と同型であることを示し、ゴールドマン型の記述が可能になる。
• van Kampen の定理および基本群の提示を用いて、$H_0^{S^1}(\mathrm{L}{\mathfrak{X}})$ 上のリーヒューリング構造が、表面の基本群の共轭類の自由加群と同型であることを特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Chas-Sullivan のストリングブラケット構成を多様体から微分的スタックへ一般化することは可能か、特に同変ホモロジーを用いた方法で？
• RQ2 標準的な群胚モデルが函手的でない場合に、群作用と商スタックを用いてスタックの同変（コ）ホモロジーをどのように定義できるか？
• RQ3 2次元オーロラフォールドのストリングブラケットの明示的幾何的記述は何か？ また、古典的ゴールドマンブラケットとどのように関係しているか？
• RQ4 同変ホモロジーから非同変ホモロジーへの転送写像は、スタックの文脈でもリーヒューリング構造を保存するか？
• RQ5 商スタック $[S^1\backslash\mathrm{L}{\mathfrak{X}}]$ のホモトピー型は、同変ホモロジーおよびその代数的構造をどの程度特定するか？

主な発見

• $S^1$-同変ホモロジー $H^{S^1}_{*+\dim{\mathfrak{X}}-2}(\mathrm{L}{\mathfrak{X}})$ はブラケット $\{x,y\} := (-1)^{|x|} q(T(x) \star T(y))$ に関して階数付きリーヒューリングをなす。
• 転送写像 $T: H^{S^1}_*(\mathrm{L}{\mathfrak{X}})[2-d] \to H_*(\mathrm{L}{\mathfrak{X}})[1-d]$ はリーヒューリング準同型であり、代数的構造を保存する。
• 2次元オーロラフォールド ${\mathfrak{X}}_{g,h}$ に対して、リーヒューリング $H_0^{S^1}(\mathrm{L}{\mathfrak{X}}_{g,h})$ は $\mathbb{Z}[\operatorname{Conj}(F(\gamma_1,\dots,\gamma_{2g}, a_1,\dots,a_{h-1}))]$ と同型であり、ブラケットはループの幾何的交差により計算可能である。
• $(\Sigma_{g,h,0})^0 \hookrightarrow {\mathfrak{X}}_{g,h}$ の包含写像は $\pi_1$ で同型を誘導し、したがって自由ループを取った後もゴールドマンリーヒューリングに同型を誘導する。
• ${\mathfrak{X}}_{g,h}$ のホモロジー $H_3({\mathfrak{X}}_{g,h})$ は $\mathbb{Z}^{h-1} \oplus \mathbb{Z}$ と同型であり、非自明な拡張は存在せず、関連する階数付き構造が完全に決定されていることが確認される。
• $H_0^{S^1}(\mathrm{L}{\mathfrak{X}}_{g,h})$ 内の生成元 $\gamma_i$ と $\gamma_j$ のストリングブラケットは一般に非自明であり、非アーベル的交差行動を反映している。