[論文レビュー] Higher Hochschild cohomology, Brane topology and centralizers of $E_n$-algebra maps

Rafael J. L. Morcillo, Thomas Tradler+1 more|arXiv (Cornell University)|May 31, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 45被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、因子化ホモロジーと高次ホッホシュライブコホモロジーを用いて、向き付けられた $m$-次元多様体 $M$ に対して、写像空間 $\mathrm{Map}(S^n, M)$ のシフトされた整数的チェインに $E_{n+1}$-代数構造を確立する。高次デリーニ予想を、$E_n$-ホッホシュライブコホモロジーに $E_{n+1}$-構造を構成することで証明し、$E_n$-代数の写像の中心化子と同定し、$E_n$-代数の反復バー構成の因子化代数モデルを提供する。

ABSTRACT

We use factorization homology and higher Hochschild (co)chains to study various problems in algebraic topology and homotopical algebra, notably brane topology, centralizers of $E_n$-algebras maps and iterated bar constructions. In particular, we obtain an $E_{n+1}$-algebra model on the shifted integral chains of the mapping space of the n-sphere into an orientable closed manifold $M$. We construct and use $E_\infty$-Poincaré duality to identify higher Hochschild cochains, modeled over the $n$-sphere, with the chains on the above mapping space, and then relate Hochschild cochains to the deformation complex of the $E_\infty$-algebra $C^*(M)$, thought of as an $E_n$-algebra. We invoke (and prove) the higher Deligne conjecture to furnish $E_n$-Hochschild cohomology, and all that is naturally equivalent to it, with an $E_{n+1}$-algebra structure. We prove that this construction recovers the sphere product. In fact, our approach to the Deligne conjecture is based on an explicit description of the $E_n$-centralizers of a map of $E_\infty$-algebras $f:A o B$ by relating it to the algebraic structure on Hochschild cochains modeled over spheres, which is of independent interest and explicit. More generally, we give a factorization algebra model/description of the centralizer of any $E_n$-algebra map and a solution of Deligne conjecture. We also apply similar ideas to the iterated bar construction. We obtain factorization algebra models for (iterated) bar construction of augmented $E_m$-algebras together with their $E_n$-coalgebras and $E_{m-n}$-algebra structures, and discuss some of its features. For $E_\infty$-algebras we obtain a higher Hochschild chain model, which is an $E_n$-coalgebra. In particular, considering an n-connected topological space $Y$, we obtain a higher Hochschild cochain model of the natural $E_n$-algebra structure of the chains of the iterated loop space of $Y$.

研究の動機と目的

• 向き付けられた $m$-次元多様体 $M$ に対して、写像空間 $\mathrm{Map}(S^n, M)$ のシフトされた整数的チェインに $E_{n+1}$-代数構造を確立すること。
• 高次ホッホシュライブコホモロジーを用いて、$E_n$-代数写像の中心化子の因子化代数モデルを提供すること。
• 高次デリーニ予想を、$E_n$-ホッホシュライブコホモロジーに $E_{n+1}$-代数構造を構成することで証明すること。
• 反復バー構成の因子化代数モデルを、$E_n$-代数の性質を明らかにするために提供し、$E_n$-コアルゲブラ構造と $E_{m-n}$-代数構造を明らかにすること。
• 高次ホッホシュライブコホモロジーを $S^n$ 上で、$E_\infty$-ポincare双対性を用いて、$C^*(M)$ の $E_n$-代数としての変形複体と関連付けること。

提案手法

• 因子化ホモロジーと高次ホッホシュライブ(コ)ホモロジーを用いて、写像空間 $\mathrm{Map}(S^n, M)$ のコホモロジーをモデル化する。
• $E_\infty$-ポincare双対性を適用し、$S^n$ 上の高次ホッホシュライブコホモロジーを $\mathrm{Map}(S^n, M)$ のチェインと同定する。
• 明示的なパラメータ付き因子化代数構造を用いて、高次デリーニ予想に従い、$E_n$-ホッホシュライブコホモロジーに $E_{n+1}$-代数構造を構成する。
• 高次形式性とタマリンのホモトピー $P_{n+1}$-構造に依拠し、$E_{n+1}$-構造の明示的モデルを計算する。
• $E_n$-代数の反復バー構成を用いて、$E_n$-コアルゲブラ構造と $E_{m-n}$-代数構造を両方持つ因子化代数モデルを定義する。
• $n$-連結空間の $E_\infty$-代数にこの構成を適用し、$C_*(\Omega^n Y)$ を $E_n$-代数としての高次ホッホシュライブコホモロジー・モデルを取得する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $E_\infty$-代数間の写像の $E_n$-中心化子は、$S^n$ 上の高次ホッホシュライブコホモロジーによってモデル化可能か？
• RQ2 高次デリーニ予想が予測するように、$E_n$-代数の $E_n$-ホッホシュライブコホモロジーは自然に $E_{n+1}$-代数構造を持つのか？
• RQ3 $E_n$-代数の反復バー構成の因子化代数モデルは、$E_n$-コアルゲブラ構造と $E_{m-n}$-代数構造の両方を備えられるか？
• RQ4 $E_\infty$-ポincare双対性は、$S^n$ 上の高次ホッホシュライブコホモロジーと $\mathrm{Map}(S^n, M)$ のチェインをどのように関連付けるか？
• RQ5 $E_n$-ホッホシュライブコホモロジー上の $E_{n+1}$-構造は、ストリングトポロジーにおける球面積構造と同型か？

主な発見

• 任意の向き付けられた $m$-次元多様体 $M$ に対して、因子化ホモロジーを用いて、シフトされた整数的チェイン $C_{\bullet+m}(\mathrm{Map}(S^n, M))$ は自然に $E_{n+1}$-代数構造を持つ。
• $E_\infty$-ポincare双対性により、$S^n$ 上にモデル化された高次ホッホシュライブコホモロジーは、$\mathrm{Map}(S^n, M)$ のチェインと擬同型である。
• $E_n$-代数の $E_n$-ホッホシュライブコホモロジーは、$E_n$-代数の圏における構造写像の中心化子と同型である。
• パラメータ付き因子化代数構造を用いて明示的に $E_{n+1}$-代数構造を構成することで、高次デリーニ予想が証明された。
• 増分 $E_n$-代数の反復バー構成は、自然に $E_n$-コアルゲブラ構造と $E_{m-n}$-代数構造を持つことが示され、因子化代数モデルが明示的に構成された。
• $n$-連結空間 $Y$ に対して、$C^*(M)$ を $E_n$-代数としての高次ホッホシュライブコホモロジー・モデルは、$C_*(\Omega^n Y)$ の $E_n$-代数構造を回復する。