[論文レビュー] Group Theoretical Description of Space Inversion, Time Reversal and Charge Conjugation

В. В. Варламов|ArXiv.org|Mar 28, 2002

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 100被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、クリフォード代数とピン群を用いた群論的枠組みを提示し、すべてのスピン場において空間反転（P）、時間反転（T）、電荷共役（C）対称性を一貫して記述する。ローレンツ群およびポアンカレ群の自己同型を用い、クリフォード代数内の商構造を分析することで、マクスウェル場がワイルスピン場の複合構造として自然に導かれることが示され、ド・ブロイ＝ジョーダンの光のニュートリノ理論およびマジョラナ＝オッペンハイマーの電気力学と統一的に記述する根拠が得られる。

ABSTRACT

A group theoretical description of basic discrete symmetries (space inversion P, time reversal T and charge conjugation C) is given. Discrete subgroups of orthogonal groups of multidimensional spaces over the fields of real and complex numbers are considered in terms of fundamental automorphisms of Clifford algebras. In accordance with a division ring structure, a complete classification of automorphism groups is established for the Clifford algebras over the fields of real and complex numbers. Finite-dimensional representations of the proper orthochronous Lorentz group are studied in terms of spinor representations of the Clifford algebras. Real, complex, quaternionic and octonionic representations of the Lorentz group are considered. The Atiayh-Bott-Shapiro periodicity is defined on the Lorentz group. Quotient representations of the Lorentz group are introduced. It is shown that quotient representations are the most suitable for description of massless physical fields. An algebraic construction of basic physical fields is presented.

研究の動機と目的

• 標準的な相対論的波動方程式の手法に起因する制限を克服し、すべてのスピン場にわたる離散的対称性（P、T、C）を一貫的かつ統一的に群論的に記述すること。
• ローレンツ群およびポアンカレ群の自己同型、特にクリフォード＝リプシッツ群およびダブルスキー群を用いることで、高スピン場の記述における曖昧さを解消すること。
• 電磁場（マクスウェル場）がワイルスピン場の複合構造として自然に導かれることが示され、ド・ブロイ＝ジョーダンの光のニュートリノ理論を支持すること。
• 横偏光光子が複合ニュートリノ場から自然に出現し、ボーズ統計ではなくリプキン統計に従うことが示され、実験的観測と整合すること。
• マジョラナ＝オッペンハイマーの電気力学とニュートリノ理論の光を、クリフォード代数の自己同型に基づく一貫した群論的枠組みで統一すること。

提案手法

• クリフォード代数 $\mathbb{C}\ell_{p,q}$ 及びそれらに関連するクリフォード＝リプシッツ群 $\mathbf{Pin}(p,q)$ を用い、直交群 $O(p,q)$ の2重被覆を構成することで、離散的対称性の体系的取り扱いが可能になる。
• クリフォード代数の基本的自己同型、特に擬似自己同型 $\mathcal{A} \mapsto \widetilde{\mathcal{A}}$ を用い、電荷共役をモデル化し、スピン表現における複素共役と関連付ける。
• 半直積構造 $G_0 \odot \{1, P, T, PT\}$ を用いて完全なローレンツ群を記述し、離散的変換を外部自己同型として実現する。
• ホモモーティズム $\epsilon: \mathbb{C}_{n+1} \to \mathbb{C}_n$ を用いた商表現の構成により、奇数次元クリフォード代数および多体系における離散的対称性を分析する。
• アティヤ＝ボット＝シャピロの周期性定理を用い、ローレンツ群の表現をスピン場と関連付け、物理的場の構造を既約表現の観点から導出する。
• 対称テンソル積 $\operatorname{Sym}_{(2,0)} \cup \operatorname{Sym}_{(0,2)}$ を通じたスピン場から3次元ベクトル場への移行を分析し、ヘルムホルツ＝シルバーステイン表現 $\mathbf{F} = \mathbf{E} + i\mathbf{H}$ と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群論的手法を用いて、$j=1/2$ の場合を越えて、すべてのスピン場にわたる離散的対称性P、T、Cを一貫して記述する方法は何か？
• RQ2 ローレンツ群およびポアンカレ群の自己同型が離散的対称性を実現する役割を果たす仕組みは何か？また、それらが異なる場の種類を統一的に扱う仕組みは何か？
• RQ3 電磁場が群論的手法を用いてワイルスピン場の複合構造として導かれることが示せるか？これによりニュートリノ理論の光が支持されるか？
• RQ4 横偏光光子の性質は、複合ニュートリノ場からどのようにして出現するか？また、それらはどのような統計に従うか？
• RQ5 $\mathbf{Pin}(p,q)$ 群が異なる符号型 $(a,b,c)$ を持つ場合、離散的対称性の記述において数学的・物理的意味は何か？

主な発見

• 擬似自己同型 $\mathcal{A} \mapsto \widetilde{\mathcal{A}}$ の作用の下で、全表現空間 $\mathbb{S}_4 \cup \dot{\mathbb{S}}_4$ は3次元対称空間 $\operatorname{Sym}_{(2,0)} \cup \operatorname{Sym}_{(0,2)}$ に縮退し、スピン場から3次元ベクトルへの移行が可能になる。
• マクスウェル場 $ (1,0) \cup (0,1) $ が $ (1/2,0) \otimes (1/2,0) \cup (0,1/2) \otimes (0,1/2) $ に同型であることが示され、ワイルスピン場からの複合構造が明確に裏付けられる。
• $\widetilde{\psi}$ は $\widetilde{\phi}$ から射影写像を経て3次元ベクトル $\begin{pmatrix} 0 \\ \overset{*}{F}_1 \\ \overset{*}{F}_2 \\ \overset{*}{F}_3 \end{pmatrix}$ に写像され、スピン成分から電磁場が自然に出現することが確認される。
• 横偏光光子は複合ニュートリノ場から自然に出現し、ボーズ統計ではなくリプキン統計に従い、準ボソンとして特定される。
• プリースの定理がニュートリノに基づく光子とボーズ統計の不相性を仮定しているが、これは支持されない。群論的枠組みにより、このような場の一貫的構成が可能である。
• マジョラナ＝オッペンハイマーの電気力学とド・ブロイ＝ジョーダンのニュートリノ理論の光が、テンソル積および直和を介したスピン場からの物理的場の構成を通じて統一的に実現される。