[論文レビュー] Groupoid cocycles and K-theory

Bram Mesland|arXiv (Cornell University)|May 20, 2010

Advanced Operator Algebra Research参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、局所コン pact な Hausdorff 群oids に Haar 系を備えた実数値の 1-コサイクルを用いて、群oids C*-代数の奇数的、等変的非有界 KK-サイクルを構成する。弱い条件下—特にエタール群oids 上の整数値コサイクルでは自動的に満たされる—において、コサイクルが擬不変測度から来るとき、$ K_1(C^*(\mathcal{G})) $ から $ \mathbb{C} $ へのインデックス写像を誘導するバイモジュールが得られ、非可換幾何学および作用素代数における K-理論的道具が得られる。

ABSTRACT

Let $c:\mathcal{G} o\R$ be a cocycle on a locally compact Hausdorff groupoid $\mathcal{G}$ with Haar system. Under some mild conditions (satisfied by all integer valued cocycles on étale groupoids), $c$ gives rise to an unbounded odd $\R$-equivariant bimodule $(\mathpzc{E},D)$ for the pair of $C^{*}$-algebras $(C^{*}(\mathcal{G}),C^{*}(\mathcal{H}))$. If the cocycle comes from a continuous quasi-invariant measure on the unit space $\mathcal{G}^{(0)}$, the corresponding element in $KK_{1}^{\R}(C^{*}(\mathcal{G}),C^{*}(\mathcal{H}))$ gives rise to an index map $K_{1}^{\R}(C^{*}(\mathcal{G})) o \C$.

研究の動機と目的

• 群oids $ \mathcal{G} $ 上の実数値 1-コサイクル $ c $ を用いて、$ C^*(\mathcal{G}) $ および $ C^*(\mathcal{H}) $（ただし $ \mathcal{H} = \ker c $）のための奇数的、等変的非有界 KK-サイクルを構成すること。
• このようなコサイクルが、$ (C^*(\mathcal{G}), C^*(\mathcal{H})) $ 上の非有界正則作用素 $ D $ を定義可能にする条件を確立すること。
• コサイクル $ c $ が $ \mathcal{G}^{(0)} $ 上の連続擬不変測度から来るとき、対応する KK-類が、$ C^*(\mathcal{H}) $ 上のトレースとの Kasparov 積を通じて、$ K_1(C^*(\mathcal{G})) \to \mathbb{C} $ への自然なインデックス写像を誘導することを示すこと。
• 従来の円作用に関する研究における技術的条件が、作用がコサイクルから来る場合に自動的に満たされることを示し、KK-理論におけるアプローチを統合すること。
• 非可換トーラスを、特に円へのファイブレーションとして実現するための体系的構成を提供すること。

提案手法

• コサイクル $ c $ が誘導する 1 パrameter 自動同型群の生成子を用いて、$ C_c(\mathcal{G}) $ の $ C_c(\mathcal{H}) $ 上の $ C^* $-モジュール完備化上に非有界正則作用素 $ D $ を構成する。
• 非有界バイモジュール $ (\mathpzc{E}, D) $ を $ C_c(\mathcal{G}) $ の完備化として定義し、$ \mathpzc{E} $ を $ C^*(\mathcal{H}) $ 上の $ C^* $-モジュールとし、$ D $ を群oids ファイバー上のコサイクル値による乗法作用素として作用させる。
• Kucerovsky の定理を用いて、$ (\mathpzc{E}, D) $ と $ C(S^1) $ 上のスぺクトル三重対との Kasparov 積が、有効な偶数 KK-サイクルを定めることが確認され、積が正しく定義されることを保証する。
• コサイクル $ c $ が擬不変測度から来る場合に、$ C^*(\mathcal{H}) $ 上に自然なトレース $ \tau $ が存在することを活用し、Kasparov 積と $ \tau_* $ を合成することで、$ K_1(C^*(\mathcal{G})) \to \mathbb{C} $ への写像を得る。
• 非可換トーラスを $ S^1 \rtimes_\theta \mathbb{Z} $ として実現し、コサイクル $ c $ を回転数 $ \theta $ で与える。
• 形式的 Bott 周期性を用いて、得られた $ K^0 $-類を $ K_1(C^*(S^1 \rtimes_\theta \mathbb{Z})) $ と関連付け、その類がコサイクルサイクルと円のスぺクトル三重対との Kasparov 積であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実数値群oids コサイクル $ c: \mathcal{G} \to \mathbb{R} $ を用いて、$ (C^*(\mathcal{G}), C^*(\mathcal{H})) $ のための非有界奇数的 $ \mathbb{R} $-等変 KK-サイクルをどのように構成できるか？
• RQ2 このようなコサイクルが、$ C^* $-モジュールの意味でコンパクトな解像を持つ非有界正則作用素 $ D $ を誘導するための条件は何か？
• RQ3 得られた KK-類 $ [(\mathpzc{E}, D)] \in KK_1(C^*(\mathcal{G}), C^*(\mathcal{H})) $ が、非自明なインデックス写像 $ K_1(C^*(\mathcal{G})) \to \mathbb{C} $ を誘導するのはいつか？
• RQ4 この構成は、KK-理論における円作用に関する先行研究とどのように関係しているか、特に技術的仮定の観点から。
• RQ5 この枠組みを用いて、非可換トーラスを群oids コサイクルを介して円へのファイブレーションとして実現できるか？

主な発見

• 任意の連続 1-コサイクル $ c: \mathcal{G} \to \mathbb{R} $ に対して、局所コンpact な Hausdorff 群oids $ \mathcal{G} $ に Haar 系を備えたとき、弱い条件下で、$ \mathcal{H} = \ker c $ とおくと、$ (C^*(\mathcal{G}), C^*(\mathcal{H})) $ 上の非有界奇数的 $ \mathbb{R} $-等変バイモジュール $ (\mathpzc{E}, D) $ が構成される。
• コサイクル $ c $ が $ \mathcal{G}^{(0)} $ 上の連続擬不変測度から来るとき、対応する類 $ [(\mathpzc{E}, D)] \in KK_1(C^*(\mathcal{G}), C^*(\mathcal{H})) $ は、$ C^*(\mathcal{H}) $ 上のトレースとの Kasparov 積を通じて、$ K_1(C^*(\mathcal{G})) \to \mathbb{C} $ への自然なインデックス写像を誘導する。
• エタール群oids 上の整数値コサイクルでは、必要な技術的条件が自動的に満たされるため、この構成はすべての Cuntz-Krieger 代数および $ \mathbb{Z} $ による交叉積に適用可能である。
• 非可換トーラス $ C^*(S^1 \rtimes_\theta \mathbb{Z}) $ は、円上のファイブレーションとして現れ、$ C(S^1) $ 上のスぺクトル三重対とコサイクル誘導バイモジュールの Kasparov 積が、トーラスの $ K^0 $-類を表す。
• 文献 [4] における円作用に関する技術的条件が、作用がコサイクルから来る場合に自動的に満たされることを示し、その研究の構成と現在の枠組みを統合した。
• この構成は Kucerovsky の定理と整合性があり、バイモジュールとスぺクトル三重対のテンソル積が有効な偶数 KK-サイクルを定め、その類が元のサイクルの Kasparov 積であることが保証される。