[論文レビュー] Groupoid models for the C*-algebras of topological higher-rank graphs

Trent Yeend|ArXiv.org|Mar 3, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 12被引用数 33

ひとこと要約

本稿は、位相的高ランクグラフのC*-代数の群札モデルを確立し、経路群札 $ G_{\bigwedge} $ とその境界還元 $ \mathcal{G}_{\bigwedge} $ を導入する。これらはそれぞれトーピツ代数とクンツ＝クリーガー代数を実現する。主な貢献は、群のコアクティオン（または双対作用）によるC*-代数の交叉積が、スケイプ積位相的kグラフのC*-代数と同型であることを証明することにある。

ABSTRACT

We provide groupoid models for Toeplitz and Cuntz-Krieger algebras of topological higher-rank graphs. Extending the groupoid models used in the theory of graph algebras and topological dynamical systems to our setting, we prove results on essential freeness and amenability of the groupoids which capture the existing theory, and extend results involving group crossed products of graph algebras.

研究の動機と目的

• 位相的グラフと高ランクグラフのC*-代数の理論を群札モデルによって統一すること。
• 位相的kグラフ $ \bigwedge $ に対して経路群札 $ G_{\bigwedge} $ とその境界還元 $ \mathcal{G}_{\bigwedge} $ を定義し、それぞれトーピツ代数とクンツ＝クリーガー代数を捉えること。
• 離散kグラフにおける本質的自由性および可解性の結果を、位相的設定に拡張すること。
• スケイプ積構成を用いて、離散kグラフにおける交叉積同型を位相的kグラフに一般化すること。
• 作用およびコアクティオンの両方について、交叉積C*-代数とスケイプ積位相的kグラフのC*-代数との間に同型を確立すること。

提案手法

• 小カテゴリとしての位相的kグラフ $ (\Lambda, d) $ を定義し、連続な次数写像 $ d: \Lambda \to \mathbb{N}^k $ を持ち、合成と因子化の公理を満たすものとする。
• 単位空間 $ X_{\bigwedge} $ を、$ \Lambda $ 内の有限および無限経路の空間として定義し、$ G_{\bigwedge} $ をその上に位相を入れて局所コンパクトかつr離散な群札とする。
• 範囲と源写像の連続性および $ G_{\bigwedge} $ の局所コンパクト性を保証するため、コンパクト整合性の概念を導入する。
• 境界経路空間 $ \partial\Lambda \subset X_{\bigwedge} $ を定義し、境界経路群札 $ \mathcal{G}_{\bigwedge} = G_{\bigwedge}|_{\partial\Lambda} $ を構成する。これにはハール系が存在する。
• 局所コンパクトアーベル群または離散群 $ A $ と、連続関手 $ c: \Lambda \to A $ に対して、スケイプ積位相的kグラフ $ \Lambda \times_c A $ を定義する。
• 群札双対性と交叉積理論を用いて、$ C^*(G_{\bigwedge}) \times_{\delta(\tilde{c})} A \cong C^*(G_{\Lambda \times_c A}) $ および $ C^*(\mathcal{G}_{\bigwedge}) \times_{\delta(\bar{c})} A \cong C^*(\mathcal{G}_{\Lambda \times_c A}) $ を証明する。作用の双対性に対しても同様の結果が成り立つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位相的kグラフ $ \Lambda $ がどのような条件下で、関連する経路群札 $ G_{\bigwedge} $ が局所コンパクトかつr離散な位相群札であり、ハール系を備えるか？
• RQ2 境界経路群札 $ \mathcal{G}_{\bigwedge} $ が本質的に自由であるのはいつか？ これは非周期性条件とどのように関係するか？
• RQ3 境界経路群札 $ \mathcal{G}_{\bigwedge} $ が可解であるのはいつか？ これに必要な $ \Lambda $ の構造的条件は何か？
• RQ4 離散群のコアクティオンと双対群の作用が $ C^*(G_{\bigwedge}) $ および $ C^*(\mathcal{G}_{\bigwedge}) $ に与える影響は、スケイプ積位相的kグラフのC*-代数とどのように関係するか？
• RQ5 離散kグラフにおける交叉積同型は、どの程度まで位相的設定に拡張可能か？

主な発見

• 経路群札 $ G_{\bigwedge} $ が局所コンパクトかつr離散な位相群札であり、ハール系を備えるのは、$ \Lambda $ がコンパクト整合性を満たすとき、かつそのときに限る。
• 境界経路群札 $ \mathcal{G}_{\bigwedge} $ が本質的に自由であるのは、$ \Lambda $ が非周期性条件を満たすとき、かつそのときに限る。
• 境界経路群札 $ \mathcal{G}_{\bigwedge} $ が可解であるのは、$ \Lambda $ が有限に整合された離散kグラフ、位相的1グラフ、または出力を持たない適切な位相的kグラフであるとき。
• 連続関手 $ c: \Lambda \to A $ に対して、交叉積 $ C^*(G_{\bigwedge}) \times_{\delta(\tilde{c})} A $ は $ C^*(G_{\Lambda \times_c A}) $ に同型である。ここで $ \tilde{c} $ は $ c $ の群札への上への持ち上げである。
• 同様に、$ C^*(\mathcal{G}_{\bigwedge}) \times_{\delta(\tilde{c})} A \cong C^*(\mathcal{G}_{\Lambda \times_c A}) $ が成り立ち、これは既知の離散kグラフの結果を位相的kグラフに拡張する。
• アーベル群 $ A $ に対して、$ C^*(G_{\bigwedge}) $ 上の双対作用 $ \alpha(\tilde{c}) $ は $ C^*(G_{\bigwedge}) \times_{\alpha(\tilde{c})} \widehat{A} \cong C^*(G_{\Lambda \times_c A}) $ を満たし、境界代数に対しても同様の同型が成り立つ。