[論文レビュー] Product systems of graphs and the Toeplitz algebras of higher-rank graphs

Iain Raeburn, Aidan Sims|arXiv (Cornell University)|May 27, 2003

Advanced Operator Algebra Research参考文献 20被引用数 74

ひとこと要約

この論文は、特に N^k を含む半群上の積系を用いて、Cuntz-Krieger代数およびそのToeplitz類似物を高ランクグラフへ一般化する。ヒルベルト双加群の積系を構成し、特に無限発信を持つ有限整列可能 k-グラフのToeplitz代数に対して、対角期待値を分析し、非行別有限構造を考慮した強化された Cuntz-Krieger関係のもとで忠実性を示す、鋭い一意性定理を確立する。

ABSTRACT

There has recently been much interest in the $C^*$-algebras of directed graphs. Here we consider product systems $E$ of directed graphs over semigroups and associated $C^*$-algebras $C^*(E)$ and $\mathcal{T}C^*(E)$ which generalise the higher-rank graph algebras of Kumjian-Pask and their Toeplitz analogues. We study these algebras by constructing from $E$ a product system $X(E)$ of Hilbert bimodules, and applying recent results of Fowler about the Toeplitz algebras of such systems. Fowler's hypotheses turn out to be very interesting graph-theoretically, and indicate new relations which will have to be added to the usual Cuntz-Krieger relations to obtain a satisfactory theory of Cuntz-Krieger algebras for product systems of graphs; our algebras $C^*(E)$ and $\mathcal{T}C^*(E)$ are universal for families of partial isometries satisfying these relations. Our main result is a uniqueness theorem for $\mathcal{T}C^*(E)$ which has particularly interesting implications for the $C^*$-algebras of non-row-finite higher-rank graphs. This theorem is apparently beyond the reach of Fowler's theory, and our proof requires a detailed analysis of the expectation onto the diagonal in $\mathcal{T}C^*(E)$.

研究の動機と目的

• Cuntz-Krieger代数およびその Toeplitz類似物の理論を、行別有限でない高ランクグラフへ拡張すること。
• Toeplitz-Cuntz-Krieger族を用いて、積系のグラフに対する普遍 C*-代数を定義し、Nica-共変表現と整合するようにすること。
• 関連するヒルベルト双加群の積系がコンパクトに整列されている条件を同定し、Fowler理論の適用を可能にすること。
• 無限発信を持つ k-グラフの Toeplitz代数に対して、鋭い一意性定理を確立すること。これにより、先行研究の制限を克服する。

提案手法

• 特に N^k を含む半群上の有向グラフの積系 E から、ヒルベルト双加群の積系 X(E) を構成する。
• Toeplitz-E-族を定義し、X(E) の Toeplitz表現との間の一対一対応を確立する。
• X(E) がコンパクトに整列されていることを保証する、有限整列可能な積系 E の特徴づけを行う。これにより、Fowler理論による Nica-共変表現の応用が可能になる。
• 標準的な射影の和の条件に代えて、射影の積の正値性を含む、強化された Cuntz-Krieger関係を導入する。
• T*C(E) における対角への期待値を分析し、新しい関係のもとで表現の忠実性を証明する。
• Z^k の可解性と、有限の辺集合を避ける長さの長いパスの存在を用いて、特定の射影の積が非ゼロであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Cuntz-Krieger代数およびその Toeplitz類似物は、行別有限でない高ランクグラフへどのように一般化できるか？
• RQ2 積系のグラフに対して、関連するヒルベルト双加群がコンパクトに整列される条件は何か？
• RQ3 非行別有限 k-グラフに対する Cuntz-Krieger関係の正しい一般化は何か？
• RQ4 頂点ごとに無限個の辺を持つ k-グラフの Toeplitz代数に対して、鋭い一意性定理を確立できるか？
• RQ5 非行別有限の場合に、Toeplitz代数における対角期待値は、表現の忠実性とどのように関係するか？

主な発見

• この論文は、有限整列可能な積系のグラフに対して、普遍 Toeplitz代数 T*C(E) を定義し、これは Toeplitz-Cuntz-Krieger E-族によって生成される。
• 新たな Cuntz-Krieger関係が同定された：各頂点 v および s^{-1}_{e_m}(v) の有限部分集合 G_m ⊂ に対して、∏_{m=1}^k (t_v - ∑_{λ∈G_m} t_λ t_λ^*) > 0 が成り立つ。
• この強化された関係は、|Λ^{e_i}(v)| = ∞ を満たすすべての v および i に対して、表現の忠実性の必要十分条件である。
• 主な一意性定理は、このような k-グラフにおいて、非ゼロの頂点射影を持つ Cuntz-Krieger族が C*(E) の忠実表現を生成することを示している。
• 証明は、指定された有限の辺集合を避ける ∑_{i=1}^k e_i の次数を持つパス μ_k を構成することに依拠しており、これにより t_μ_k t_μ_k^* が非ゼロであり、射影の積の下でも生存することが保証される。
• この結果により、k-グラフにソースがなく、各頂点が各次数で無限個の辺を発信する場合、T*C(E) = C*(E) が成り立つことが示され、この場合に Toeplitz代数と Cuntz-Krieger代数が統合される。