[論文レビュー] H-Harmonic Maass-Jacobi Forms of Degree 1: The Analytic Theory of Some Indefinite Theta Series

Martin Raum|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、符号 (r+s,s) の格子に対して、1次元の H-調和マッズ＝ヤコビ形式を導入し、Zwegers の µ-関数を「積型」不確定なシータ級数へ一般化する。この形式の分解を確立し、2変数 µ-関数の正則的および1変数の実解析的成分への分割を説明し、ねじれ点への制限が高深度の調和弱マッズ形式を生じることを示し、混合モックモジュラー形式の枠組みの中で退化した不確定シータ級数のモジュラー完備化を統一的に扱う。

ABSTRACT

It was shown in previous work that the one-variable $\widehatμ$-function defined by Zwegers (and Zagier) and his indefinite theta series attached to lattices of signature $(r\!+\!1,1)$ are both Heisenberg harmonic Maaß-Jacobi forms. We extend the concept of Heisenberg harmonicity to Maaß-Jacobi forms of arbitrary many elliptic variables, and produce indefinite theta series of "product type" for non-degenerate lattices of signature $(r\!+\!s,s)$. We thus obtain a clean generalization of $\widehatμ$ to these negative definite lattices. From restrictions to torsion points of Heisenberg harmonic Maaß-Jacobi forms, we obtain harmonic weak Maaß forms of higher depth in the sense of Zagier and Zwegers. In particular, we explain the modular completion of some, so-called degenerate indefinite theta series in the context of higher depth mixed mock modular forms. The structure theory for Heisenberg harmonic Maaß-Jacobi forms developed in this paper also explains a curious splitting of Zwegers's two-variable $\widehatμ$-function into the sum of a meromorphic Jacobi form and a one-variable Maaß-Jacobi form.

研究の動機と目的

• ヘイゼンベルク調和性の概念を、複数の楕円変数を持つマッズ＝ヤコビ形式へ拡張すること。
• 符号 (r+s,s) の非退化格子に対して「積型」不確定シータ級数を構成し、µ-関数を一般化すること。
• 高深度の混合モックモジュラー形式の観点から、退化した不確定シータ級数のモジュラー完備化を説明すること。
• Zwegers の2変数 µ-関数が正則的ヤコビ形式と1変数実解析的形式に分割されるという奇妙な現象の表現論的説明を提供すること。

提案手法

• 拡張ヤコビ群に関して、カシミール作用素の固有関数として H-調和マッズ＝ヤコビ形式を定義し、1変数から複数変数へ概念を一般化する。
• 符号 (r+s,s) の格子に対して、一般化された µ-関数を構成要素として用いて「積型」不確定シータ級数を構成する。
• ξJH[B] 演算子を用いて、H-調和マッズ＝ヤコビ形式をベクトル値正則ヤコビ形式と関連付ける。
• H-調和性タイプ B に関する帰納法を用い、H-調和形式を、より小さい H-調和性を持つ成分に分解する。
• H-調和マッズ＝ヤコビ形式をねじれ点に制限し、高深度の調和弱マッズ形式を得る。
• 繰り返し ξ-作用素と成長条件を用いて高深度調和弱マッズ形式を定義し、退化したシータ級数のモジュラー完備化の研究を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マッズ＝ヤコビ形式の文脈において、ヘイゼンベルク調和性の概念を1変数から複数の楕円変数へどのように一般化できるか。
• RQ2 符号 (r+s,s) の格子に対する不確定シータ級数の解析的構造は何か。また、一般化された µ-関数とはどのように関係するか。
• RQ3 なぜ Zwegers の2変数 µ-関数が正則的ヤコビ形式と1変数実解析的マッズ＝ヤコビ形式に分割されるのか。これは体系的に説明可能か。
• RQ4 H-調和マッズ＝ヤコビ形式をねじれ点に制限すると、高深度の調和弱マッズ形式がどのように得られるか。
• RQ5 退化した不確定シータ級数のモジュラー完備化は、高深度混合モックモジュラー形式の枠組みの中で理解可能か。

主な発見

• 本稿は、符号 (r+s,s) の格子に対して H-調和マッズ＝ヤコビ形式を構成し、負定値型の不確定格子への µ-関数の一般化を実現した。
• H-調和形式の分解を通じて、2変数 µ-関数が正則的ヤコビ形式と1変数実解析的マッズ＝ヤコビ形式に分割される現象に自然な説明を与えた。
• H-調和マッズ＝ヤコビ形式をねじれ点に制限すると、H-調和性タイプ B に対応する深さ #B の調和弱マッズ形式が得られる。
• H-調和マッズ＝ヤコビ形式の構造論は、退化した不確定シータ級数のモジュラー完備化を高深度混合モックモジュラー形式の枠組みとして理解する手がかりを提供する。
• ξJH[B] 演算子による H-調和形式の分解により、より単純な H-調和性タイプへの帰納的還元が可能となり、洗練された構造的理論が確立された。
• 本稿は、高深度調和弱マッズ形式において、f(iy) = O(e^{ay}) (y → ∞) という成長条件が十分であることを確立し、算術的応用への応用を可能にした。