[論文レビュー] H-principle for the 2D incompressible porous media equation with viscosity jump

Francisco Mengual|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2020

Navier-Stokes equation solutions参考文献 32被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、粘性係数のジャンプ（|A| < 1）を伴う2次元非圧縮性多孔質媒体（IPM）方程式に対してh-原理を確立し、定数粘性係数（A = 0）の既存結果を拡張する。凸統合を用いて、コンパクトに台を持つ解や不安定なムスカット問題の$ \Theta_A $-混合解を含む、$ C_t L^{∞w*}_∞ $ 内に無限個の弱解を構成し、界面でレイノルズ＝ターレイユ不安定性や渦度が存在しない場合でも、巨視的混合が発生することを証明する。

ABSTRACT

In this work we extend the results in [6,32] on the 2D IPM system with constant viscosity (Atwood number $A_μ=0$) to the case of viscosity jump ($|A_μ|&lt;1$). We prove a h-principle whereby (infinitely many) weak solutions in $C_tL_{w^*}^{\infty}$ are recovered via convex integration whenever a subsolution is provided. As a first example, non-trivial weak solutions with compact support in time are obtained. Secondly, we construct mixing solutions to the unstable Muskat problem with initial flat interface. As a byproduct, we check that the connection, established by Székelyhidi for $A_μ=0$, between the subsolution and the Lagrangian relaxed solution of Otto, holds for $|A_μ|&lt;1$ too. For different viscosities, we show how a pinch singularity in the relaxation prevents the two fluids from mixing wherever there is neither Rayleigh-Taylor nor vorticity at the interface.

研究の動機と目的

• 2次元非圧縮性多孔質媒体（IPM）系のh-原理枠組みを、定数粘性係数（A = 0）から粘性係数のジャンプ（|A| < 1）の状況へ拡張すること。
• |A| < 1 のIPM系に対して、$ C_t L^{∞w*}_∞ $ 内に無限個の弱解が存在することを確立すること、特に時間にコンパクトに台を持つ解を含むこと。
• 平坦な初期界面を有する不安定なムスカット問題に対して、$ \Theta_A $-混合解を構成し、界面でレイノルズ＝ターレイユ不安定性や渦度が存在しない場合でも巨視的混合が発生することを示すこと。
• オットーとシュエケリヒディがA = 0の状況で確立した、下位解とラグランジュ的緩和解との間の関係が、|A| < 1 の場合にも成り立つことの確認。
• 異なる粘性係数における緩和過程におけるピンチ特異性の役割を分析し、レイノルズ＝ターレイユ不安定性や渦度が界面に存在しない場合に、混合を妨げる要因となることを示すこと。

提案手法

• 本稿は、凸統合を用いて、与えられた下位解からIPM系の弱解を回復し、粘性係数のジャンプ（|A| < 1）の状況へのh-原理の拡張を実現する。
• 下位解は、IPM系の線形化された形の弱解として定義され、凸統合に必要な構造的制約を満たす。
• 構成は、粘性対比をパrameter化するアトウッド数 $ A = A_\mu = (\mu^+ - \mu^-)/(\mu^+ + \mu^-) \in (-1,1) $ に依存する。
• オットーが導入したラグランジュ的緩和解 $ \Theta_A $ は、混合の巨視的モデルとして用いられ、解が弱-*位相で $ \Theta_A $ に収束することを示す。
• 自由境界 $ d_A^\pm(t) $ のジャンプ条件から導かれる、初期境界値問題を解くことで、混合領域の時間発展および有界領域における境界効果を分析する。
• ピカール＝リニデューフの定理を用いて、自由境界の時間発展の存在および一意性を確立し、混合領域が有限時間で安定な平面相に収束することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元IPM系のh-原理は、定数粘性係数（A = 0）から粘性係数のジャンプ（|A| < 1）の状況へ拡張可能か？
• RQ2 |A| < 1 のとき、時間にコンパクトに台を持つ非自明な弱解は存在するか？
• RQ3 |A| < 1 のとき、平坦な初期界面を有する不安定なムスカット問題に対して、$ \Theta_A $-混合解を構成可能か？
• RQ4 オットーとシュエケリヒディがA = 0の状況で確立した、下位解とラグランジュ的緩和解との関係は、|A| < 1 の場合にも保持されるか？
• RQ5 界面にレイノルズ＝ターレイユ不安定性や渦度が存在しない場合、緩和過程におけるピンチ特異性は、混合を妨げる要因となるか？

主な発見

• 本稿は、|A| < 1 のIPM系に対して、$ C_t L^{∞w*}_∞ $ 内に無限個の弱解が存在することを証明し、特に時間にコンパクトに台を持つ解を含むことを示す。
• 平坦な初期界面を有する不安定なムスカット問題に対して、有限の混合速度を示す無限個の$ \Theta_A $-混合解を構成する。
• 混合領域は時間とともに線形に拡大し、解は弱-*位相で粗粒度化された相 $ \Theta_A $ に収束する。これにより、|A| < 1 の場合における緩和解モデルの妥当性が確認される。
• A = 0 の場合に既に確立されていた、下位解とラグランジュ的緩和解との関係が、|A| < 1 の場合にも成立することが確認される。
• $ A \neq 0 $ の場合、緩和過程におけるピンチ特異性は、レイノルズ＝ターレイユ不安定性や渦度が界面に存在しない場合でも、混合を妨げる。
• 有界領域では、混合領域が有限時間 $ t_A $ で収束し、安定な平面相に至る。$ t_A $ は、自由境界 $ f_A^\pm(t) $ の初期値問題を解くことで、明示的に特徴づけられる。