[論文レビュー] Hamiltonian interpolation of splitting approximations for nonlinear PDEs

Erwan Faou, Benoît Grébert|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2009

Numerical methods for differential equations参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、多項式非線形性を有する非線形ハミルトニアンPDEに適用される分割積分法に対して、ハミルトニアン補間を確立し、修正ハミルトニアンの数値的流れが指数的長時間にわたり正確な流れと密接に一致することを示している。スペクトルフィルタリングを考慮した後向き誤差解析を用いて修正ハミルトニアンを構築することで、非共鳴および可積分性条件の下で、長時間にわたりエネルギーと正則性が保存されることを保証する。

ABSTRACT

We consider a wide class of semi linear Hamiltonian partial differential equa- tions and their approximation by time splitting methods. We assume that the nonlinearity is polynomial, and that the numerical tra jectory remains at least uni- formly integrable with respect to an eigenbasis of the linear operator (typically the Fourier basis). We show the existence of a modified interpolated Hamiltonian equation whose exact solution coincides with the discrete flow at each time step over a long time depending on a non resonance condition satisfied by the stepsize. We introduce a class of modified splitting schemes fulfilling this condition at a high order and prove for them that the numerical flow and the continuous flow remain close over exponentially long time with respect to the step size. For stan- dard splitting or implicit-explicit scheme, such a backward error analysis result holds true on a time depending on a cut-off condition in the high frequencies (CFL condition). This analysis is valid in the case where the linear operator has a discrete (bounded domain) or continuous (the whole space) spectrum.

研究の動機と目的

• 非有界線形作用素を有する半線形ハミルトニアンPDEに後向き誤差解析を拡張し、有限次元の推定における定数の爆発を克服すること。
• 修正ハミルトニアン $ H_h $ が存在することを確立し、その正確な流れが指数的長時間にわたり各時間ステップで離散的分割スキームと一致することを示すこと。
• スペクトルフィルタリングを用いて、非線形シュレーディンガー方程式および波動方程式の分割スキーム（例：Lie-Trotterスキーム）の長時間安定性を保証すること。
• フーリエ空間における非共鳴および一様可積分性条件の下で、数値解が連続的流れに近いままであることを証明すること。
• ステップサイズに依存する指数的長時間にわたりエネルギー保存および正則性の定量的バインディングを導出すること。

提案手法

• 形式的後向き誤差解析により、線形部と非線形部のハミルトニアン間の反復ポアソン括弧を用いて、$ h $ のべき級数として修正ハミルトニアン $ H_h $ を構築する。
• 線形作用素の有界性を保証し、非有界固有値を回避するために、スペクトルフィルタリング関数 $ \alpha_h(x) $ を導入する。
• 離散的（トーラス）および連続的（全空間）スペクトルの両方に対し、フーリエに基づく表現および擬スペクトル法を用いる。
• 高周波数モードの成長を制御するため、ゼロ運動量条件および解のフーリエ空間における $ L^1 $-有界性に依存する主要な推定を行う。
• 多インデックス積分を用いたLie-Poisson括弧形式による、修正ハミルトニアン方程式の再帰的解法を採用する。
• 収束性および誤差項の指数的微小性を保証するため、非共鳴条件 $ |\Lambda(\boldsymbol{\tau})| \geq 2\pi - \delta $ を課す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 修正ハミルトニアン $ H_h $ の正確な流れが、各時間ステップにおける離散的分割マップと一致するように構築可能か？
• RQ2 分割スキームの数値解が、どのような条件下で指数的長時間にわたり連続的流れに近いか？
• RQ3 非線形PDEに非有界線形作用素を有する場合、スペクトルフィルタリングは分割法の安定化にどのように寄与できるか？
• RQ4 フーリエ空間における一様可積分性が、長時間精度を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 この修正ハミルトニアンフレームワークを用いて、エネルギーおよび正則性をどの程度指数的長時間にわたり保存できるか？

主な発見

• 分割スキームの数値的流れは、$ nh \leq \exp(c h^{-1/2}) $ の範囲で、修正ハミルトニアン $ H_h $ の正確な流れと指数的微小誤差 $ \mathcal{O}(\exp(-c h^{-1/2})) $ の範囲で一致する。
• 立方非線形シュレーディンガー方程式（NLS）において $ \alpha_h(x) = \sqrt{h} \arctan(x/\sqrt{h}) $ の場合、修正ハミルトニアン $ H_h^{(1)} $ は指数的長時間にわたり初期エネルギーを $ \mathcal{O}(h) $ の誤差で保存する。
• 初期データが $ H^1(\mathbb{R}^3) $ に属する場合、高周波数成分がフィルタで制御されることにより、$ H^1 $-ノルムにおいて解は指数的長時間にわたり有界に保たれる。
• 解が $ B^s_M $ に属し $ s \geq 3 $ である場合、元のハミルトニアン $ H $ は指数的長時間にわたり $ \mathcal{O}(h) $ の誤差で保存される。
• 非共鳴条件 $ |\Lambda(\boldsymbol{\tau})| \leq 2\pi - \delta $ が満たされることで、形式的級数の収束性および修正系の指数的安定性が保証される。
• 適切なスペクトルフィルタリングの下で、本手法は離散的および連続的スペクトル（全空間 $ \mathbb{R}^d $ を含む）に対して一様に適用可能である。