[論文レビュー] Heun-Polynomial Representation of Regular-at-Infinity Solutions for the Basic SUSY Ladder of Hyperbolic Pöschl-Teller Potentials Starting from the Reflectionless Symmetric Potential Well

Gregory Natanson|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2014

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 45被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、整数パラメータを有する双曲的Pöschl-Tellerポテンシャルを有する1次元シュレーディンガー方程式の無限大で正則な解に対して、反射対称ポテンシャル井戸をシードとして用い、ヘン・多項式表現を導出する。この解が変数変換された形で表されるとき、零の補助パラメータを持つ複素ラムベ・ワード多項式の部分集合を形成し、正則かつほとんど至る所正則（AEH）な因数化関数として、標準的リウヴィル＝ダルブー変換を用いて形状不変な有理関数ポテンシャルを生成可能であることを示す。

ABSTRACT

It is shown that the regular-at-infinity solution of the 1D Schrodinger equation with the hyperbolic Poschl-Teller (h-PT) potential with integer parameters is expressible in terms of a n-order Heun polynomial in y=thr at an arbitrary negative energy. It was proven that the Heun polynomials in question form a subset of generally complex Lambe-Ward polynomials corresponding to zero value of the accessory parameter. Since the mentioned solution expressed in the new variable y has an almost-everywhere holomorphic (AEH) form it can be used as the factorization function (FF) for canonical Liouville-Darboux transformations (CLDTs) to construct a continuous family of shape-invariant rational potentials exactly-solvable by the Hp-seed (HpS) Heine polynomials. There are also two sequences of infinitely many rational potentials generated using CLDTs with nodeless regular-at-origin AEH FFs.

研究の動機と目的

• 整数パラメータを有する双曲的Pöschl-Tellerポテンシャルに対する無限大で正則な解の閉形式表現を導出すること。
• これらの解と補助パラメータがゼロのヘン多項式との関係を確立すること。
• 解を、標準的リウヴィル＝ダルブー変換（CLDT）に用いるほぼ至る所正則（AEH）な因数化関数（FF）として利用すること。
• これらの変換を用いて、形状不変な有理関数ポテンシャルの連続的族を生成すること。
• ノードレスで原点で正則なAEH因数化関数を用いて、2つの無限列の有理関数ポテンシャルを構築すること。

提案手法

• 双曲的Pöschl-Tellerポテンシャルを有するシュレーディンガー方程式を、変数変換 y = tanh(r) により変換し、無限大で正則な解の表現を可能にする。
• 解を、任意の負エネルギーに対して有効な変数 y における n 次ヘン多項式として表現する。
• これらのヘン多項式が、一般に複素のラムベ・ワード多項式のうち補助パラメータがゼロのものに属する部分集合であることを証明する。
• 解のほぼ至る所正則（AEH）性を活用して、標準的リウヴィル＝ダルブー変換（CLDT）のための因数化関数（FF）を定義する。
• CLDTを適用して、Hp-シードヘイン多項式を用いて正確に解ける形状不変な有理関数ポテンシャルの連続的族を生成する。
• ノードレスで原点で正則なAEH因数化関数を用いて、追加の2つの無限列の有理関数ポテンシャルを構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元シュレーディンガー方程式の双曲的Pöschl-Tellerポテンシャルに対する無限大で正則な解は、ヘン多項式として表現可能か？
• RQ2 これらのヘン多項式とラムベ・ワード多項式族（特に補助パラメータがゼロの場合）との関係は何か？
• RQ3 解のほぼ至る所正則（AEH）な形を、標準的リウヴィル＝ダルブー変換における因数化関数としてどのように活用できるか？
• RQ4 このAEH解をシードとして用いるCLDTによって、どのような有理関数で形状不変なポテンシャルが生成可能か？
• RQ5 ノードレスで原点で正則なAEH因数化関数を、この解から導出することで、無限列の有理関数ポテンシャルを構築可能か？

主な発見

• 整数パラメータを有する双曲的Pöschl-Tellerポテンシャルの無限大で正則な解は、任意の負エネルギーにおいて y = tanh(r) における n 次ヘン多項式として表現可能である。
• これらのヘン多項式は、補助パラメータがゼロである複素ラムベ・ワード多項式の部分集合を形成する。
• 変数 y における解は、ほぼ至る所正則（AEH）であり、標準的リウヴィル＝ダルブー変換（CLDT）における因数化関数（FF）として利用可能である。
• このAEH FFを用いることで、Hp-シードヘイン多項式を用いて正確に解ける形状不変な有理関数ポテンシャルの連続的族が生成される。
• ノードレスで原点で正則なAEH因数化関数を用いたCLDTによって、2つの無限列の有理関数ポテンシャルが構築される。
• 本手法により、1つの反射対称ポテンシャル井戸をシードとして、正確に解ける形状不変ポテンシャルを体系的に生成するフレームワークが提供される。