[論文レビュー] High-dimensional periodic sampling on Smolyak grids based on B-spline quasi-interpolation

Ðinh Dũng|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2015

Mathematical Approximation and Integration参考文献 26被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Lipschitz-Hölder混合滑らかさを持つ高次元周期関数に対して、Bスplineの準補間を用いたスモリャクグリッド上での線形サンプリング回復および数値積分公式を提案する。次元 $d$、細分化レベル $m$、有効変数数 $u$ に明示的に依存する最適な誤差評価を確立し、スパースなスモリャクグリッドが、はるかに少ないグリッド点数で、フルグリッドと同等の収束速度を達成できることを示している。

ABSTRACT

We constructed linear algorithms of sampling recovery and cubature formulas on Smolyak grids parametrized by $m \in \mathbb{N}$ of periodic $d$-variate functions having Lipschitz-Hölder mixed smoothness $α> 0$ based on B-spline quasi-interpolation, and studied their optimality. We established lower estimates (for $α\le 2$) and upper bounds of the error of the optimal sampling recovery and the optimal integration on Smolyak grids, explicit in $d$, $m$ and the number $ν$ of active variables of functions when $d$ and $m$ may be large.

研究の動機と目的

• 周期的 $d$ 変数関数に対して、混合滑らかさ $\alpha>0$ を持つスモリャクグリッド上での線形サンプリング回復および数値積分アルゴリズムの開発。
• 誤差評価が $d$、$m$、$\nu$ に明示的に依存するという観点から、これらのアルゴリズムの最適性の分析。
• スモリャクグリッド上での最適サンプリング回復および積分の誤差に対して、$\alpha \leq 2$ の場合の下界と上界を確立する。
• スパースなスモリャクグリッドが、フルグリッドと同等の収束速度を達成するが、はるかに少ないサンプリング点数を用いることの証明。

提案手法

• Bスpline準補間作用素を用いて、スモリャクグリッド $G^d(m)$ 上に線形サンプリング回復および数値積分公式を構築する。
• 一変数対称ラウレンツ多項式 $P_\Lambda$ を用いて、近似誤差を明示的に制御可能な準補間作用素 $Q$ を定義する。
• 混合差分作用素 $\Delta_h^{r,u}$ を用いて、空間 $H^\alpha_\infty(\mathbb{T}^d)$ における Lipschitz-Hölder半ノルムを定義する。
• $\|P_{\text{even}}^*\|$、$\|P_{\text{odd}}^*\|$、$\|L_\Lambda\|_{C(\mathbb{T})}$ の解析を通じて誤差評価を導出する。これらは安定性および近似精度を制御する。
• 区分的線形Bスpline（$r=1$）を用いたファーベル級数表現を適用し、立方（$r=2$）および五次（$r=3$）Bスpline準補間へ拡張する。
• 階層的分解と $|k|_1 = m$ を満たすスパースグリッド構築法を用いることで、スパース性を保ちつつ最適収束速度を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Bスpline準補間を用いたスモリャクグリッド上で、混合滑らかさ $\alpha>0$ を持つ高次元周期関数に対して、最適収束速度を達成できるか？
• RQ2 サンプリング回復および積分の誤差評価が $d$、$m$、$\nu$ に明示的に依存する形で、どのように表されるか？
• RQ3 高次元において、Bスpline準補間の近似特性は、標準的なフルグリッドと比べてどのように異なるか？
• RQ4 ラウレンツ多項式 $P_\Lambda$ は、準補間作用素の安定性および精度を制御するために果たす役割は何か？
• RQ5 誤差評価が $\alpha \leq 2$ の場合に鋭いか？また、それらは下界と比較してどうなるか？

主な発見

• スモリャクグリッド上での最適サンプリング回復の誤差は、$C \cdot 2^{-m\alpha}$ で抑えられ、$C$ は $d$、$\nu$、$\alpha$ に明示的に依存する。この評価は $\alpha \leq 2$ の場合に最適である。
• 区分的線形Bスpline準補間（$r=1$）では、$\|P_{\text{even}}^*\| = 1/2$、$\|P_{\text{odd}}^*\| = 0$、$\|L_\Lambda\| = 1$ であり、安定性と最適収束が保証される。
• 立方Bスpline準補間（$r=2$）では、$\|P_{\text{even}}^*\| = 3/8$、$\|P_{\text{odd}}^*\| = 1/2$、$\|L_\Lambda\| = 11/9$ であり、高い近似精度が得られる。
• 五次Bスpline準補間（$r=3$）では、$\|P_{\text{even}}^*\| \approx 0.97$、$\|P_{\text{odd}}^*\| \approx 1.00$、$\|P_\Lambda\| \approx 2.63$ であり、近似的に最適な安定性と高次精度が達成される。
• グリッド点数 $|G^d(m)|$ は、$\frac{1}{(d-1)!}2^m m^{d-1}$ よりも小さく、$2^{dm}$ よりも著しく少ないため、スモリャクグリッドのスパarsityが確認される。
• 提案されたアルゴリズムは、フルグリッド上でのものと同等の収束速度を達成しており、高次元周期関数に対する混合滑らかさを持つ場合にスパースグリッドが最適であることを示している。