[論文レビュー] Higher conformal variations and the Virasoro vertex operator algebra

Benjamin Doyon|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、リーマン球面上の共形写像の空間上の汎関数に対する変分法を、ベクトル場を用いて無限小変化を記述することで構築する。高階の共形微分は、汎関数による共役作用を施すことにより、バーチャル・バーチャル演算子代数構造を生成することが示され、従来の1階微分とストレスエネルギーテンソルに関する結果を、すべての後継者および複数の挿入に対応させるものである。

ABSTRACT

We develop a calculus of variations for functionals on certain spaces of conformal maps. Such a space Ω is composed of all maps that are conformal on domains containing a fix compact annular set of the Riemann sphere, and that are "sense-preserving". The calculus of variations is based on describing infinitesimal variations of such maps using vector fields. We show that derivatives of all orders with respect to such conformal maps, upon conjugation by an appropriate functional, give rise to the structure of the Virasoro vertex operator algebra. Our construction proceeds in three steps. We first put a natural topology on Ω and define smooth paths and an operation of differentiation to all orders ("conformal derivatives"). We then study certain second-order variational equations and their solutions. We finally show that such solutions give rise to representations of the Virasoro algebra in terms of conformal derivatives, from which follows constructions for the Virasoro vertex operator algebra. It turns out that series expansions of multiple covariant conformal derivatives are equal to products of multiple vertex operators. This paper extends a recent work by the author, where first-order conformal derivatives were associated with the stress-energy tensor of conformal field theory.

研究の動機と目的

• 固定されたコンpakトなアニュラリ領域を含む領域上で、方向を保つ共形写像の空間上の汎関数に対する変分法を確立すること。
• このような写像の位相的空間 Ω において、滑らかな経路および高階微分可能性（共形微分）を定義すること。
• 2階変分方程式の解が、共形微分を介してバーチャル代数の表現を生じることを示すこと。
• これらの表現から、バーチャル代数の頂点演算子代数構造を構成し、共形場理論における相関関数と結びつけること。
• 従来の1階共形微分とストレスエネルギーテンソルに関する結果を、相関関数におけるすべての後継者および複数の挿入にまで拡張すること。

提案手法

• リーマン球面上の固定されたコンパクトなアニュラリ領域を含む領域上で定義される方向を保つ共形写像の空間 Ω に自然な位相を導入すること。
• Ω 内の滑らかな経路を定義し、ベクトル場を無限小変化として用いて、すべての順序の共形微分の概念を構築すること。
• 2階共形微分方程式およびその解を研究し、特に共形ガウス関数に関連するものを特に扱うこと。
• 共形微分を用いてバーチャル代数の表現を構成し、バーチャル代数の生成子を汎関数上の微分作用素として実現すること。
• 複数の共変共形微分が頂点演算子の積に対応することを示すことにより、頂点演算子代数構造を確立すること。
• 共形ウォード恒等式および汎関数共役を用いて、この構成を共形場理論におけるストレスエネルギーテンソルとその後継者と結びつけること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようなトポロジー的および解析的制約のもとで、共形写像の空間上の汎関数に対する変分法を構築できるか？
• RQ2 高階の共形微分が共形写像の汎関数に作用する際に、生成される代数的構造は何か？
• RQ3 2階共形微分方程式の解は、バーチャル代数の表現とどのように関係するか？
• RQ4 複数の共変共形微分は、頂点演算子代数における頂点演算子の積とどのように対応するか？
• RQ5 この構成を、共形ループエンsembles（CLE）におけるストレスエネルギーテンソルのすべての後継者を確率変数として特定するように拡張できるか？

主な発見

• 固定されたコンパクトなアニュラリ領域を含む領域上で方向を保つ共形写像の空間 Ω には自然な位相が導入され、滑らかな経路およびすべての順序の共形微分を定義可能となる。
• 2階共形微分方程式の解は、共形微分を介してバーチャル代数の表現を生じさせ、生成子が微分作用素として実現される。
• 汎関数の複数の共変共形微分は、頂点演算子代数構造における複数の頂点演算子の積に正確に対応する。
• バーチャル頂点演算子代数構造は、これらの表現から構成され、共形ベクトル ω はストレスエネルギーテンソルとその後継者を介して実現される。
• この構成は、従来の1階共形微分とストレスエネルギーテンソルに関する結果を、相関関数におけるすべての後継者および複数の挿入にまで一般化する。
• このフレームワークにより、共形ループエンsembles（CLE）における完全な頂点演算子代数構造の特定が可能となり、代数的手法を用いてCFTを再構成することが可能になる。