[論文レビュー] Higher Gauge Theory: 2-Connections on 2-Bundles

John C. Baez, Urs Schreiber|ArXiv.org|Dec 30, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 29被引用数 85

ひとこと要約

この論文は、曲線と面を越えた平行移動を可能にするために、ゲージ理論を高次元に一般化するための主2束上の2接続を導入する。虚の曲率が消えることで、経路2群作用素から構造2群への2関手として定義される2ホロノミーが保証され、これにより2束と非可換ゲーブルの接続および曲率の理論が重要な制約の下で統一される。

ABSTRACT

Connections and curvings on gerbes are beginning to play a vital role in differential geometry and mathematical physics -- first abelian gerbes, and more recently nonabelian gerbes. These concepts can be elegantly understood using the concept of `2-bundle' recently introduced by Bartels. A 2-bundle is a generalization of a bundle in which the fibers are categories rather than sets. Here we introduce the concept of a `2-connection' on a principal 2-bundle. We describe principal 2-bundles with connection in terms of local data, and show that under certain conditions this reduces to the cocycle data for nonabelian gerbes with connection and curving subject to a certain constraint -- namely, the vanishing of the `fake curvature', as defined by Breen and Messing. This constraint also turns out to guarantee the existence of `2-holonomies': that is, parallel transport over both curves and surfaces, fitting together to define a 2-functor from the `path 2-groupoid' of the base space to the structure 2-group. We give a general theory of 2-holonomies and show how they are related to ordinary parallel transport on the path space of the base manifold.

研究の動機と目的

• 主束と接続の理論を、2-カテゴリの枠組みで一般化し、2接続を備えた2束を導入することで、高次カテゴリへの拡張を図ること。
• 2束上の2接続と、非可換ゲーブルの接続および曲率の局所的コycleデータとの関係を明確にすること。
• 2ホロノミー（面を越えた平行移動）が存在し、適切に定義されるための条件を確立すること。
• 多様体の経路空間上の接続と、底面多様体上の2接続との間の対応を調査すること。
• 高次ゲージ理論の文脈における「虚の曲率」制約の意味と、物理的意義を検討すること。

提案手法

• カテゴリ化された標準ゲージ理論を、2カテゴリ（カテゴリ、関手、自然変換）の中で主束と接続の概念を内部化することで実現する。
• 開集合の経路2群作用素から構造2群への2関手として、自明な主2束上の2接続を局所的データで定義する。
• 重なり領域における移行法則の一貫性を保証するための制約として、「虚の曲率」（非可換ゲーブルにおける曲率の一般化）の概念を用いる。
• 2ホロノミーを構造2群への2関手として構成し、表面の再パrametrizationに対して不変であることを示す。
• 2接続と底面多様体の経路空間上の接続との関係を明らかにし、経路空間上で再パrametrization不変なホロノミーを持つ接続が、底面多様体上の2接続を誘導することを示す。
• 非自明な2束のための貼り合わせデータを、局所的2接続から導出し、虚の曲率条件の下で、非可換ゲーブルのコycleデータと同等であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、2束上の2接続が接続および曲率を備えた非可換ゲーブルを生じるか？
• RQ2 虚の曲率が消えることと、面を越えた平行移動である2ホロノミーの存在との関係は何か？
• RQ3 多様体の経路空間上の接続と、底面多様体上の2接続との間の正確な対応関係は何か？
• RQ4 2束と2接続の形式的枠組みを、整合的2群へ一般化できるか？その場合、2ホロノミーにどのような意味が生じるか？
• RQ5 弦理論における膜が5-braneに結合する文脈において、「虚の曲率」制約の物理的解釈は何か？

主な発見

• 虚の曲率が消える場合に限り、自明な主2束上の2接続が、経路2群作用素から構造2群への2関手として定義される2ホロノミーを生じる。
• 虚の曲率制約の下で、2束と2接続の局所的貼り合わせデータは、非可換ゲーブルの接続および曲率のコycleデータと正確に一致する。
• 経路空間上の局所1形式接続の経路空間曲率は、アーベル的イデアルに値を取るため、アーベル的面ホロノミーへの還元が可能である可能性を示唆するが、非可換な輸送は依然として非自明である。
• 再パrametrization不変なホロノミーを持つ経路空間上の接続は、底面多様体上に2接続を誘導する。
• 厳密な2群の設定において、2ホロノミーがグローバルに一貫して定義可能であるための必要十分条件として、虚の曲率制約が成立する。
• この形式的枠組みは、高次ゲージ理論と非可換ゲーブル理論を統合し、M理論や5-braneのダイナミクスに関連する高次ゲージ理論における面ホロノミーの幾何的フレームワークを提供する。