[論文レビュー] Higher Hochschild homology and exponential functors

Geoffrey Powell, Christine Vespa|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 40被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、標数0の体上の自由群上の関手に注目し、平方零拡大を係数とする、円の有限個の楔和の高次ホッホシュレーデルホモロジーを研究する。外的関手の圏を導入し、指数関手とシュール関手を用いてホモロジーを明示的に計算し、自己同型群作用が外的自己同型を経由して因数分解されることを示し、対称冪および外冪を用いた明確な分解をもたらす。

ABSTRACT

We study higher Hochschild homology evaluated on wedges of circles, viewed as a functor on the category of free groups. The main results use coefficients arising from square-zero extensions; this is motivated by work of Turchin and Willwacher in relation to hairy graph cohomology. The functorial point of view allows us to exploit tools such as the theory of polynomial functors and exponential functors. We also introduce and make essential use of the category of outer functors, the full subcategory of functors on free groups on which inner automorphisms act trivially. We give a description of higher Hochschild homology in terms of intrinsically defined polynomial outer functors; we also obtain several explicit computations of these outer functors, working over a field of characteristic zero. In particular, higher Hochschild homology gives a natural source of non-trivial polynomial outer functors.

研究の動機と目的

• 自由群上の関手としての、r個の円の楔和の高次ホッホシュレーデルホモロジーを理解すること。
• 自由群の自己同型群がこのホモロジーに作用する仕組みを分析し、それが外的自己同型を経由して因数分解されることを示すこと。
• 外的関手と指数関手を用いた枠組みを構築し、平方零拡大を係数とするホモロジーの計算を行うこと。
• トゥルチンとウィルワッチャの「ヘアのグラフコホモロジー」に関する結果を、標数0における明示的計算によって一般化すること。
• 外的関手の包含関手の右随伴を用いて、高次ホッホシュレーデルホモロジーと多項式関手との間の関係を確立すること。

提案手法

• 内的自己同型が自明に作用する自由群上の関手のフル部分圏として、外的関手の圏を導入する。
• 外的関手の包含関手に対する右随伴 ω を用い、高次ホッホシュレーデルホモロジーの本質的構造を捉える。
• 特にテンソル余代数構成を用いて、円の楔和のホモロジーをモデル化する指数関手を適用する。
• 標数0におけるカウチの恒等式を用い、テンソル積の対称冪および外冪を分解する。
• シュール関手と対称群の表現論を用いて、ホモロジーを既約表現の言語で計算する。
• 双対数を含む係数の短完全系列に関連する高次ホッホシュレーデルホモロジーの長完全系列を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 r個の円の楔和の高次ホッホシュレーデルホモロジーは、自由群上の関手としてどのように振る舞うか。特に、平方零拡大を係数とする場合に限って。
• RQ2 自由群の自己同型群は、高次ホッホシュレーデルホモロジーにどのように作用するのか。この作用は外的自己同型を経由して因数分解されるか。
• RQ3 標数0の体上での L(𝕜[ε], 𝕜[ε]) を係数とする高次ホッホシュレーデルホモロジーの明確な構造は何か。
• RQ4 指数関手とシュール関手を用いて、高次ホッホシュレーデルホモロジー群をどのように計算し、分解できるか。
• RQ5 外的関手の圏は、高次ホッホシュレーデルホモロジーの計算を整理・簡略化するために果たす役割は何か。

主な発見

• 係数が L(𝕜[ε], 𝕜[ε]) である高次ホッホシュレーデルホモロジーは、1次での 𝕜 上のテンソル余代数に適用した指数関手 Ψ𝕋̇_coalg†(𝕜) に同型である。
• Aut(ℤ⋆r) が HH*(Bℤ⋆r; L) に作用するとき、それは Out(ℤ⋆r) を経由して因数分解される。このため、外的関手の圏の導入が正当化される。
• 係数が L(𝕜[ε], 𝕜[ε]] の場合、ホモロジーは分割に付随するシュール関手の直和に分解され、標準的テーブルのマジョル指数に基づく明示的な重複度の公式が得られる。
• 標数0におけるカウチの恒等式を用いて、ホモロジー群が対称冪および外冪の言語で明示的に計算される。
• リー加群の分解において、Sλ が Lie(n) に現れるのは、λ が (s)（s≥2）、(1t)（t≥3）、(2²)、(2³) のいずれでもない場合に限る。
• Sλ が Lie(n) に現れる重複度は、λ の形をした標準的テーブルのうち、マジョル指数が i mod n と合同であるものの個数に等しい。ただし (i,n)=1 を満たす i について。