[論文レビュー] Higher level affine Schur and Hecke algebras

Ruslan Maksimau, Catharina Stroppel|arXiv (Cornell University)|May 7, 2018

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、生成子と関係式を用いて高次元アフィンシューア代数およびヘッケ代数を導入し、ウェブスターオンラインテンソル積とクイバーシューア代数の完備化と同型であることを確立し、高次元アフィンシューア代数がクイドラティック $q$-シューア代数へ上への写像であることを証明する。主な貢献は、長年の未解決であった高次元におけるアフィン $q$-シューア代数の定義におけるギャップを解消する、これらの代数の図式的表現の確立である。

ABSTRACT

We define a higher level version of the affine Hecke algebra and prove that, after completion, this algebra is isomorphic to a completion of Webster's tensor product algebra of type A. We then introduce a higher level version of the affine Schur algebra and establish, again after completion, an isomorphism with the quiver Schur algebra. An important observation is that the higher level affine Schur algebra surjects to the Dipper-James-Mathas cyclotomic q-Schur algebra. Moreover, we give nice diagrammatic presentations for all the algebras introduced in this paper.

研究の動機と目的

• 古典的なアフィン $q$-シューア代数を一般化し、クイドラティック $q$-シューア代数へ上への写像となる高次元アフィン $q$-シューア代数を定義すること。
• クイドラティック関係式において多項式構造が失われるため、アフィンの場合に標準的な自己準同型代数の構成が失敗する問題を克服すること。
• 生成子と関係式を用いて、高次元アフィンヘッケ代数およびシューア代数の図式的表現を確立すること。
• 高次元アフィンヘッケ代数の完備化が、タイプ A のウェブスターのテンソル積代数の完備化と同型であることを示すこと。
• 高次元アフィンシューア代数の完備化がクイバーシューア代数と同型であり、クイドラティック商がディッパー＝ジェイムズ＝マサスの $q$-シューア代数を回復することを示すこと。

提案手法

• 標準的なアフィンヘッケ代数を高次元に一般化した、生成子と関係式による高次元アフィンヘッケ代数 $\operatorname{H}_{d,\mathbf{Q}}(q)$ の定義。
• 高次元アフィンシューア代数 $\operatorname{S}_{d,\mathbf{Q}}(q)$ を、$\operatorname{H}_{d,\mathbf{Q}}(q)$ 上のモジュールの自己準同型代数として構成し、$\ell$-組成に対応する要素 $m_\lambda$ を用いる。
• 完備化技術を用いて、代数とその完備化との関係を確立し、完備化されたテンソル積代数およびクイバーシューア代数との同型を可能にする。
• 高次元アフィンヘッケ代数の完備化とウェブスターのタイプ A のテンソル積代数の完備化との同型を確立する。
• 中心的イデアルの切断と次元比較を用いて、高次元アフィンシューア代数の完備化がクイバーシューア代数の完備化と同型であることを証明する。
• カラーフレームと関係式を用いた図式的表現を、すべての代数に対して提供し、KLR代数の図式的表現を高次元に一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元アフィン $q$-シューア代数の正しい定義は何か？ それは古典的なアフィン $q$-シューア代数を一般化し、忠実な多項式表現を許容するか？
• RQ2 標準的な自己準同型代数の構成が、クイドラティックヘッケ代数の要素に適用された際、アフィンの場合に失敗する理由は何か？
• RQ3 高次元アフィンヘッケ代数を代数的にどのように定義すれば、一貫性のあるシューア代数の構成が可能になるか？
• RQ4 高次元アフィンヘッケ代数とウェブスターのテンソル積代数との間には、完備化による同型が存在するか？
• RQ5 高次元アフィンシューア代数は、ディッパー＝ジェイムズ＝マサスのクイドラティック $q$-シューア代数へ上への写像となるか？ もしそうなら、その上への写像はどのように実現されるか？

主な発見

• 高次元アフィンヘッケ代数 $\operatorname{H}_{d,\mathbf{Q}}(q)$ は生成子と関係式によって定義され、タイプ A のウェブスターのテンソル積代数の完備化と同型である。
• 高次元アフィンシューア代数 $\operatorname{S}_{d,\mathbf{Q}}(q)$ は、完備化を経てクイバーシューア代数 $A_{\nu,\mathbf{Q}}$ の完備化と同型である。
• 高次元アフィンシューア代数のクイドラティック商 $\operatorname{S}_{d,\mathbf{Q}}^{\mathbf{Q}}(q)$ は、ディッパー＝ジェイムズ＝マサスのクイドラティック $q$-シューア代数と同型である。
• 代数 $\operatorname{S}_{d,\mathbf{Q}}^{\mathbf{Q}}(q)$ は、クイドラティッククイバーシューア代数 $A_{\nu,\mathbf{Q}}^{\mathbf{Q}}$ と同型であり、両代数は同じ次元を持つ。
• 高次元アフィンシューア代数の完備化とクイバーシューア代数との同型は、中心的イデアルの切断と次元比較によって確立される。
• 本稿では、KLR代数の図式的表現を高次元に一般化した、すべての代数の図式的表現を提供する。