[論文レビュー] Higher-Order Numerical Solutions of the Fractional Relaxation-Oscillation Equation using Fractional Integration

Yuri Dimitrov|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2016

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、分数階積分の台形則の漸近展開を用いて、分数階緩和・振動方程式を解くための高次数値スキームを提示する。対象となる積分の次数は $\alpha$、$1+\alpha$、$2+\alpha$、$3+\alpha$、$4+\alpha$ である。Euler-Maclaurin展開とゼータ関数の恒等式を活用することで、スペクトルに近い収束速度が達成され、実際の収束次数はテストされた分数階数において最大4.5に達する。これは標準的手法に比べ顕著な改善である。

ABSTRACT

In the present paper we derive the asymptotic expansion formula for the trapezoidal approximation of the fractional integral. We use the expansion formula to obtain approximations for the fractional integral of order $α,1+α,2+α,3+α$ and $4+α$. The approximations are applied for computing the numerical solutions of the fractional relaxation-oscillation equation.

研究の動機と目的

• 分数階微分方程式の高次数値法の開発を目的とし、分数階積分近似の精度を向上させること。
• 緩和・振動方程式を解く際の標準的分数階積分スキームにおける低収束速度の課題を解決すること。
• 任意の次数の分数階積分に適用した台形則の漸近的誤差展開を導出すること。
• 導出された係数式を用いて、分数階緩和・振動方程式に適した安定的かつ高次数の時間積分スキームを構築すること。

提案手法

• Euler-Maclaurin公式とベルヌーイ数を用いて、分数階積分に対する台形則の漸近展開を導出する。
• 次数 $\alpha$ の分数階積分を、関数値とゼータ関数・ガンマ関数から導かれた係数を含む重み付き和として表現する。
• リーマンゼータ関数およびディグァム関数の関数等式を用いて、高次近似のための係数を計算する。
• 導出された近似式を分数階緩和・振動方程式に適用し、局所切捨て誤差 $O(h^{4+\alpha})$ を持つ線形多段スキームを導出する。
• ゼータ関数の負の整数における値を用いて、$I^{\alpha}$、$I^{1+\alpha}$、$I^{2+\alpha}$、$I^{3+\alpha}$、$I^{4+\alpha}$ の係数式を導出する。
• 係数 $u_n$ を過去の値と重み $1/k^{1-\alpha}$ を持つ畳み込み和を用いた再帰式で更新する数値スキームを構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 台形則の分数階積分への適用を、漸近展開を用いて体系的に高次精度に拡張できるか。
• RQ2 次数 $\alpha$、$1+\alpha$、$2+\alpha$、$3+\alpha$、$4+\alpha$ の分数階積分に対する台形近似の補正項の解析的表現は何か。
• RQ3 四角則に高次微分を組み込むことで、分数階微分方程式の数値スキームの収束速度にどのような影響を与えるか。
• RQ4 これらの改善された分数階積分近似を用いた場合、分数階緩和・振動方程式の数値解の達成可能な収束次数は何か。
• RQ5 本手法は、$\alpha \in (0,2)$ の異なる分数階数においても安定性と高収束速度を維持できるか。

主な発見

• 表8に示すように、$\alpha = 0.65$ の場合、分数階緩和・振動方程式に対して収束次数約4.5を達成している。
• $\alpha = 1.65$ の場合、収束次数は4.6233に達し、高次分数階微分に対しても高い精度を示している。
• 方程式3[9]における $\alpha = 0.6$ の場合、$h$ を4回半分にした際、最大誤差は $1.9 \times 10^{-11}$ から $1.4 \times 10^{-15}$ に低下し、$O(h^{4.5})$ の収束傾向が確認された。
• 4+\alpha 次スキームの係数式は負の整数におけるゼータ関数を含み、$c_0 = \frac{11}{6}\zeta(-\alpha) - \zeta(-1-\alpha) + \frac{1}{6}\zeta(-2-\alpha) - \zeta(1-\alpha)$ である。この式により高次精度が保証される。
• 4+\alpha の場合、$\alpha = 0.4$、$h = 0.003125$ のとき、最大誤差は $1.9 \times 10^{-13}$ に保たれ、収束次数は4.3873に達しており、安定性が維持されている。
• 低次スキームに比べて本手法は優れており、$\alpha < 1$ の場合に収束次数が常に3.3以上、$\alpha > 1$ の場合に4.1以上に達しており、分数階数にわたる頑健性が示された。