[論文レビュー] Higher-order variational problems of Herglotz type with time delay

Simão P. S. Santos, Natália Martins+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2016

Nonlinear Differential Equations Analysis参考文献 15被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、時間遅れを伴うヘルムホルツ型変分問題に対して、高階のオイラー＝ラグランジュ方程式、デュボア＝レームォン条件、およびノイザー型定理を、最適制御フレームワークを用いて開発する。これは、非保存系における遅れ付き動的特性を扱う古典的変分法の拡張である。主な貢献は、遅れや高階導関数が存在する状況においても、不変性に起因する保存量を同定する一般化されたノイザーの定理である。

ABSTRACT

We study, using an optimal control point of view, higher-order variational problems of Herglotz type with time delay. Main results are higher-order Euler-Lagrange and DuBois-Reymond necessary optimality conditions as well as a higher-order Noether type theorem for delayed variational problems of Herglotz type.

研究の動機と目的

• 時間遅れを伴う高階ヘルムホルツ型変分問題への古典的変分法の拡張を図り、記憶効果を有する非保存系のモデル化を可能にする。
• このような遅れ付き変分問題に対して、必要最適性条件である高階オイラー＝ラグランジュ方程式およびデュボア＝レームォン条件を確立する。
• 時間遅れ付きの高階ヘルムホルツ問題に対するノイザーの第一定理の一般化を図り、対称性不変性下での保存量を同定する。
• 非保存系設定における古典的ノイザー理論の限界を克服し、状態変数および制御変数に遅れを含む系に適用可能なフレームワークを構築する。
• 一階ヘルムホルツ問題の遅れ付き結果および高階非遅れ付きヘルムホルツ問題の先行研究を統合する、統一的な最適制御に基づくアプローチを提供する。

提案手法

• 状態の微分が現在値およびその高階導関数（最大 $ n $ 階まで）の遅れ付き値に依存する、時間遅れ付きの高階ヘルムホルツ型変分問題を定式化する。
• ヘルムホルツ問題の最適制御定式化に対してポントレヤーギンの最大原理を適用し、必要最適性条件を導出する。
• 関数の変分を解析し、得られた式に対して部分積分を適用することで、高階オイラー＝ラグランジュ方程式を導出する。
• ハミルトニアンに類似した構造の時間微分を解析することで、デュボア＝レームォン条件を必要最適性条件として確立する。
• 独立変数、状態、およびその導関数に対する1パラメータ変換群の不変性を定義し、これに基づいて保存量を導く一般化されたノイザー型定理を構築する。
• 高階導関数に不連続性を許容するため、区分的 $ C^n $ 関数を用いることで、連続関数に限定されない広い解のクラスを導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間遅れ付きの高階ヘルムホルツ型変分問題に対する必要最適性条件は何か？
• RQ2 時間遅れ付きの高階ヘルムホルツ問題に、デュボア＝レームォン条件をどのように拡張できるか？
• RQ3 1パラメータ群の変換による問題の不変性が、時間遅れ付きヘルムホルツ問題の文脈で保存量を生じる条件は何か？
• RQ4 時間遅れ付きの高階ヘルムホルツ問題に対するノイザー型定理は、一階または非遅れ付きの場合の先行結果をどのように一般化するか？
• RQ5 ノイザー定理における保存量は、ラグランジアンおよびその導関数（遅れ付き項を含む）の形で明示的に表現可能か？

主な発見

• 本稿では、時間遅れ付きのヘルムホルツ型変分問題に対する高階オイラー＝ラグランジュ方程式を導出し、記憶効果および高階導関数を有する系への古典的結果の一般化を実現した。
• デュボア＝レームォン必要最適性条件が確立され、極値曲線上で特定のラグランジアンおよびその導関数の組み合わせが一定であることが示された。
• 一般化されたノイザー型定理が証明され、問題が1パラメータ群の変換に対して不変である場合、現在および遅れ付きの状態導関数を含む保存量が存在することを示した。
• 保存量は、ラグランジアン、状態導関数および遅れ付き導関数に関する偏微分、および対称性群の無限小生成子を含む時間不変な式として明示的に表現された。
• 連続的でない高階導関数を許容する区分的 $ C^n $ 関数の導入により、従来の制限的仮定（高階導関数の連続性）を排除し、適用範囲を拡大した。
• 一階ヘルムホルツ問題の遅れ付き結果および高階非遅れ付きヘルムホルツ問題の先行研究を統合する枠組みを提供し、一元的な最適制御に基づくアプローチを実現した。